python实现共轭梯度法

原创

mob64ca12e20c7d 2024-12-20 03:39:16 ©著作权

文章标签 初始化共轭梯度法 python 文章分类 Python 后端开发

©著作权归作者所有：来自51CTO博客作者mob64ca12e20c7d的原创作品，请联系作者获取转载授权，否则将追究法律责任

使用Python实现共轭梯度法

共轭梯度法是一种用于求解线性方程组Ax = b的迭代方法，尤其是当A是大型稀疏矩阵时。下面，我们将通过一个具体的实现过程来了解如何用Python实现这个算法。

流程步骤

首先，我们来看共轭梯度法的基本流程，下面是一个表格概览：

步骤	操作	描述
1	初始化	设定初始值和参数
2	计算残差	计算当前解的残差
3	检查收敛	检查残差是否满足收敛条件
4	更新解	计算步长并更新解
5	计算新的方向	计算并更新新的搜索方向
6	回到步骤2	迭代进行，直到收敛

flowchart TD
    A[初始化] --> B[计算残差]
    B --> C[检查收敛]
    C -->|未收敛| D[更新解]
    C -->|已收敛| E[结束]
    D --> B
    D --> F[计算新的方向]
    F --> B

实现步骤

接下来，我们逐步实现共轭梯度法的Python代码。

1. 初始化

在这个步骤中，我们需要初始化向量x、残差r和搜索方向p。

import numpy as np

def conjugate_gradient(A, b, x0=None, tol=1e-10, max_iter=1000):
    n = len(b)
    if x0 is None:
        x = np.zeros_like(b)  # 初始化解为零向量
    else:
        x = x0.copy()
    
    r = b - A.dot(x)  # 计算残差
    p = r.copy()      # 初始化搜索方向
    rsold = r.dot(r)  # 计算初始的残差平方
    
    return x, r, p, rsold, n, tol, max_iter

A和b是输入的矩阵和向量。
x0是初始解，默认为零向量。
tol是收敛容忍度，max_iter是最大迭代次数。

2. 计算残差

在每次迭代中，我们要计算当前解的残差。

r = b - A.dot(x)  # 计算残差

3. 检查收敛

我们可以通过检查残差平方是否小于容忍度进行收敛判断。

if np.sqrt(rsold) < tol:
    return x  # 如果收敛，返回当前解

4. 更新解

我们需要计算一个步长alpha并更新解向量。

alpha = rsold / p.dot(A.dot(p))  # 计算步长
x += alpha * p  # 更新解

5. 计算新的方向

更新残差并计算新的搜索方向。

r = b - A.dot(x)  # 更新残差
rsnew = r.dot(r)
p = r + (rsnew / rsold) * p  # 更新搜索方向
rsold = rsnew  # 更新残差平方

6. 主函数

将所有步骤整合在一起形成完整的共轭梯度法函数。

def conjugate_gradient(A, b, x0=None, tol=1e-10, max_iter=1000):
    # 初始化
    n = len(b)
    if x0 is None:
        x = np.zeros_like(b)
    else:
        x = x0.copy()
    
    r = b - A.dot(x)
    p = r.copy()
    rsold = r.dot(r)

    for _ in range(max_iter):
        # 检查收敛
        if np.sqrt(rsold) < tol:
            return x
        
        # 更新解
        alpha = rsold / p.dot(A.dot(p))
        x += alpha * p

        # 更新方向
        r = b - A.dot(x)
        rsnew = r.dot(r)
        p = r + (rsnew / rsold) * p
        rsold = rsnew
        
    return x

类图

下面的类图展示了算法的结构。

classDiagram
    class ConjugateGradient {
        +numpy array A
        +numpy array b
        +numpy array x
        +conjugate_gradient(A, b, x)
    }