python 源码实现svd函数

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Python源码实现SVD函数

在机器学习中，奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种重要的矩阵分解技术。它可以将一个矩阵分解为三个其他矩阵，具有广泛的应用场景，如降维、图像压缩和推荐系统等。本文将简要探讨SVD的概念，并提供Python源代码的实现。

什么是SVD？

给定一个矩阵 ( A ) 的维度为 ( m \times n )，SVD将其分解为三个矩阵的乘积：

[ A = U \Sigma V^T ]

( U )：一个 ( m \times m ) 的正交矩阵，其列向量是 ( A ) 的左奇异向量。
( \Sigma )：一个 ( m \times n ) 的对角矩阵，其中的对角线元素是 ( A ) 的奇异值。
( V^T )：一个 ( n \times n ) 的正交矩阵，其列向量是 ( A ) 的右奇异向量。

Python实现SVD

以下是一个简单的SVD实现：

import numpy as np

def svd(matrix):
    # 计算A^TA和AA^T
    AT_A = np.dot(matrix.T, matrix)
    A_AT = np.dot(matrix, matrix.T)
    
    # 求解特征值和特征向量
    eigvals_A, eigvecs_A = np.linalg.eig(A_AT)
    eigvals_AtA, eigvecs_AtA = np.linalg.eig(AT_A)
    
    # 按照特征值排序
    sorted_indices_A = np.argsort(eigvals_A)[::-1]
    sorted_indices_AtA = np.argsort(eigvals_AtA)[::-1]
    
    U = eigvecs_A[:, sorted_indices_A]
    Sigma = np.diag(np.sqrt(eigvals_A[sorted_indices_A]))
    V = eigvecs_AtA[:, sorted_indices_AtA].T
    
    return U, Sigma, V

# 示例用法
A = np.array([[3, 2, 1], [1, 0, 4]])
U, Sigma, V = svd(A)
print("U:", U)
print("Sigma:", Sigma)
print("V:", V)

在此代码中，我们首先计算矩阵 ( A ) 的 ( A^TA ) 和 ( AA^T )，然后求解各自的特征值和特征向量。最后，我们根据特征值的大小，对矩阵 ( U )、( \Sigma ) 和 ( V ) 进行排序以得到最终的SVD结果。

Gantt图示例

Mermaid语法可以使用甘特图展示不同步骤的执行时间：

gantt
    title SVD实施步骤
    dateFormat  YYYY-MM-DD
    section Step 1: 计算A^TA和AA^T
    计算A^TA       :a1, 2023-01-01, 2d
    计算AA^T       :after a1  , 2d
    section Step 2: 求解特征值和特征向量
    求解特征值(A^TA) :a2, after a1 , 2d
    求解特征值(AA^T) :after a2  , 2d
    section Step 3: 排序及构造U, Σ, V
    排序特征值      :a3, after a2, 2d
    构造U, Σ, V    :after a3, 2d

序列图示例

使用序列图展示程序的执行结构：

sequenceDiagram
    participant User
    participant SVD
    User->>SVD: 提供矩阵A
    SVD->>SVD: 计算A^TA和AA^T
    SVD->>SVD: 求解特征值
    SVD->>SVD: 排序特征值
    SVD->>User: 返回U, Σ, V