Python仿真二级倒立摆
1. 简介
二级倒立摆（Double Inverted Pendulum）是一种常见的控制系统问题，它包含两个相互垂直的杆，每个杆上都有一个质点。该系统的目标是通过控制杆的角度，实现倒立摆的平衡。
在本文中，我们将使用Python来模拟二级倒立摆的运动，并通过控制系统的设计，使其保持平衡。我们将使用常见的控制方法，例如PID控制器和LQR控制器，来控制倒立摆的角度。
2. 模拟二级倒立摆运动
2.1 物理模型
二级倒立摆由两个杆组成，每个杆上都有一个质点。我们可以使用牛顿第二定律来描述摆的运动。
对于第一个杆，我们可以得到以下运动方程：
m1 * l1 * d^2(theta1)/dt^2 = -m1 * g * sin(theta1) - c * d(theta1)/dt + u1
对于第二个杆，我们可以得到以下运动方程：
m2 * l2 * d^2(theta2)/dt^2 = -m2 * g * sin(theta2) - c * d(theta2)/dt + u2
其中，m1和m2是质点的质量，l1和l2是杆的长度，g是重力加速度，c是阻尼系数，u1和u2是杆上施加的控制力。
2.2 数值计算
为了模拟二级倒立摆的运动，我们可以使用数值计算方法，例如欧拉法或Runge-Kutta法。
首先，我们需要将运动方程转化为一阶微分方程。定义x为状态向量，其中x = [theta1, d(theta1)/dt, theta2, d(theta2)/dt]。我们可以得到以下状态方程：
dx/dt = [d(theta1)/dt,
(-m1 * g * sin(theta1) - c * d(theta1)/dt + u1) / (m1 * l1),
d(theta2)/dt,
(-m2 * g * sin(theta2) - c * d(theta2)/dt + u2) / (m2 * l2)]
然后，我们可以使用数值计算方法来逐步计算状态的变化。以下是使用欧拉法进行模拟的示例代码：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 参数定义
m1 = 1.0
m2 = 1.0
l1 = 1.0
l2 = 1.0
g = 9.8
c = 0.1
# 控制器参数
Kp = 1.0
Ki = 0.0
Kd = 0.0
# 时间参数
dt = 0.01
t = np.arange(0, 10, dt)
# 初始化状态
theta1 = np.pi / 2
theta2 = 0
dtheta1_dt = 0
dtheta2_dt = 0
# 保存状态的数组
theta1_history = np.zeros_like(t)
theta2_history = np.zeros_like(t)
# 模拟运动
for i in range(len(t)):
# 计算控制力
u1 = Kp * (0 - theta1) + Kd * (0 - dtheta1_dt) + Ki * sum(theta1_history)
u2 = Kp * (0 - theta2) + Kd * (0 - dtheta2_dt) + Ki * sum(theta2_history)
# 计算加速度
ddtheta1_dt = (-m1 * g * np.sin(theta1) - c * dtheta1_dt + u1) / (m1 * l1)
ddtheta2_dt = (-m2 * g * np.sin(theta2) - c * dtheta2_dt + u2) / (m2 * l2)
# 更新状态
theta1 += dtheta1_dt * dt
theta2 += dtheta2_dt * dt
dtheta1_dt += ddtheta1_dt * dt
dtheta2_dt += ddtheta2_dt * dt
# 保存状态
theta
