完全背包问题及其解决方法
背包问题是在给定一组物品和一个背包容量的情况下，找到将物品放入背包，使得背包能够装载最大价值的物品。完全背包问题是背包问题的一种变体，在这个问题中，每个物品的数量是无限的，我们可以选择将同一物品放入背包多次以使其价值最大化。
在本文中，我们将使用Python和Gurobi库来解决完全背包问题。Gurobi是一个用于数学优化的强大工具，它可以帮助我们在背包问题中找到最优解。
问题描述
假设我们有n个物品，每个物品有一个重量w和一个价值v。我们的目标是选择哪些物品放入背包，以使得背包的总重量不超过背包的容量C，并且背包中物品的总价值最大化。
模型建立
我们可以使用整数规划来建立这个问题的数学模型。对于每个物品i，我们引入一个二进制变量x[i]，用来表示是否将该物品放入背包。我们的目标是最大化总价值，可以表示为：
maximize sum(v[i]*x[i] for i in range(n))
同时，我们需要满足背包的容量约束，可以表示为：
sum(w[i]*x[i] for i in range(n)) <= C
由于每个物品的数量是无限的，我们需要引入额外的约束来限制每个物品的数量。我们可以将这个问题转化为一个整数规划问题，其中每个物品的数量表示为一个整数变量y[i]，并且满足以下约束：
sum(y[i]*w[i] for i in range(n)) <= C
y[i] >= x[i] for i in range(n)
解决方法
我们可以使用Gurobi库来解决这个数学优化问题。首先，我们需要安装Gurobi并导入所需的库：
import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB
然后，我们可以创建一个新的模型：
model = gp.Model()
接下来，我们需要定义变量和约束：
x = model.addVars(n, vtype=GRB.BINARY, name="x")
y = model.addVars(n, vtype=GRB.INTEGER, name="y")
model.addConstr(sum(y[i]*w[i] for i in range(n)) <= C, name="capacity")
model.addConstrs((y[i] >= x[i] for i in range(n)), name="limit")
然后，我们可以定义目标函数：
model.setObjective(sum(v[i]*x[i] for i in range(n)), sense=GRB.MAXIMIZE)
最后，我们可以求解模型并获取最优解：
model.optimize()
if model.status == GRB.OPTIMAL:
print('Optimal objective value: %g' % model.objVal)
for i in range(n):
print('x[%d] = %g' % (i, x[i].x))
else:
print('No solution found.')
示例
假设我们有5个物品，它们的重量和价值分别为：
w = [2, 3, 4, 5, 6]
v = [4, 7, 2, 8, 9]
背包的容量为10。我们可以使用上述方法来解决完全背包问题：
import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB
w = [2, 3, 4, 5, 6]
v = [4, 7, 2, 8, 9]
C = 10
n = len(w)
model = gp.Model()
x = model.addVars(n, vtype=GRB.BINARY, name="x")
y = model.addVars(n, vtype=GRB.INTEGER, name="y")
model.addConstr(sum(y[i]*w[i] for i in range(n)) <= C, name="capacity")
model.addConstrs((y[i] >= x[i] for i in range(n)), name="limit")
model.setObjective(sum(v[i]*x[i] for i in range(n)), sense=GRB.MAXIMIZE)
model.optimize()
if
