爱因斯坦求和约定

爱因斯坦求和约定(Einstein summation convention)是一种标记的约定, 又称为爱因斯坦标记法(Einstein notation), 可以让表达式更加简洁明了. 里面主要涉及两个概念: 哑指标(dummy index), 自由指标(free index)

定义

哑指标: 在表达式的某项中, 若某指标重复出现两次, 则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和. 该重复指标称为哑指标或简称哑标. (未被求和的指标称为自由指标)

自由指标: 在表达式的某项中, 若某指标只出现一次, 若在取值范围内轮流取该指标的任一值时, 关系式恒成立. 该指标称为自由指标.

举例说明

1. 设 $\bf a,b$ 为两个矢量, 其分量分别记为 $a_i,b_i(i=1,2,3)$, 则

$\textbf{a}\cdot \textbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = \sum\limits_{i=1}^3 a_ib_i = a_ib_i$

2. 由于哑指标只是表明求和, 所以它使用什么符号是无关重要的. 于是, 上式中 $a_ib_i$ 可以用 $a_jb_j$ 代替.

$a_ib_i = a_jb_j = a_kb_k$

3. 对于如下一个线性变换的例子

$x'_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3\\ x'_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3\\ x'_3 = a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3$

用爱因斯坦求和表示为

$x'_i = a_{ij}x_j$

其中, $i$ 为自由指标, $j$ 为哑指标.

补充说明

• 自由指标换标时必须整个表达式换标
• 同项中出现两对(或多对)不同哑标表示多重求和. 如: $a_{ij}x_ix_j = \sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3a_{ij}x_ix_j$
• 哑标只能成对出现, 否则要加上求和号或特别指出. 如: $\sum\limits_{i=1}^3a_ib_ic_i$ 不能写成 $a_ib_ic_i$
• 由 $a_ib_i = a_ic_i$ 不能得出 $b_i=c_i$
• 若重复出现的标号不求和, 应特别声明
• 通常情况下, 默认英文字母标号 $i,j,k\cdots$ 取值范围是 $1,2,3$, 拉丁文字母标号 $\alpha,\beta,\gamma\cdots$ 取值范围是 $1,2$