C++最小生成树详解

什么是最小生成树

给定一个图，在图中选择N - 1条边（N代表图的点数）把图的所有节点都连起来，且边的权值最小，则这N - 1条边就是原图的最小生成树。

如何求最小生成树

求最小生成树有两种算法：

1. prim
2. kruskal

prim算法

其实和dijstra算法很像。

题目：

算法流程：

1. 将所有点到已经选的点的集合的距离设为正无穷。
2. 每次找到dis最小的点，加入到集合中。
3. 使用该点的距离更新所有点到集合距离（注意：我们之前已经确定过的点不需要再被改变dis，所以说我们要特殊确定一下）。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define N 510
using namespace std;
int n, m;
int g[N][N];
int dis[N];
bool st[N];
int prim() {
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	dis[1] = 0;
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		int minid = -1;	//	dis最小的点
		for (int j = 1; j <= n; ++j) 
			if (!st[j] && (minid == -1 || dis[j] < dis[minid])) 
				minid = j;
		if (dis[minid] == 0x3f3f3f3f) return 0x3f3f3f3f;	//	不符合条件
		ans += dis[minid];
		st[minid] = true;
		for (int j = 1; j <= n; ++j) dis[j] = min(dis[j], g[minid][j]);	//	更新距离
	}
	return ans;
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	memset(g, 0x3f, sizeof g);
	cin >> n >> m;
	while (m--) {
		int a, b, c;
		cin >> a >> b >> c;
		g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
	}
	int t = prim();
	if (t == 0x3f3f3f3f) puts("impossible");
	else cout << t << '\n';
	return 0;
}

kruskal算法

题目：

从数据范围上看，kruskal似乎比prim更实用（prim：听我说卸卸你）

算法流程

前置知识：并查集

如果不会并查集，可以看我的另一篇博客：【数据结构】并查集（最近正在博客搬家QAQ）

算法流程：

1. 将所有边按照权值从小到大排序。
2. 如果这条边与之前选出来的所有边不会形成环（使用并查集判断），那么就使用这条边，否则舍去这条边。
3. 直到选出了N-1条边，算法结束。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;
int p[N];   //  并查集
struct Egde {
    int a, b, c;
    bool operator < (const Egde &t) const { return c < t.c; }   //  按边权从小到大排序
} edges[N * 2];
int n, m;
int cnt, ans;
int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
void kruskal() {
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int a = find(edges[i].a), b = find(edges[i].b), c = edges[i].c;
        if (a != b) {
            ans += c;
            cnt++;
            p[a] = b;
        }
    }
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        edges[i] = {a, b, c};
    }
    sort(edges + 1, edges + m + 1);
    kruskal();
    if (cnt < n - 1) {  //  选出的边数不是N-1条，不符合条件
        puts("impossible");
        return 0;
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

End.