先把这张著名的树状数组结构图摆在最前面，接下来我们就以这张图讲起！
首先图中的A数组就是所谓的原数组，也就是普通的数组形态，C则是我们今天要说的树状数组（可以看出一个树的形状，但其实和树没多大关系）
从图中可以明显看到以下几个式子：
有点像前缀和不是？
但这样还看不出什么整体规律，所以我们再来变一下，把十进制编程变成二进制：
这下有没有找到规律呢？
注意观察C数组的二进制的最低位的1的位置。你会发现：将每一个二进制，去掉所有高位1，只留下最低位的1，然后从那个数一直加到1。
在程序中如何实现去掉所有高位的1呢?
int lowbit(int x){
return x & -x;
}lowbit()函数一知半解请的看这里：
负数的补码等于原码加一，正数的补码和原码相等。运用这个特性，将两者进行与运算就能知道第一个1的位置了，还是不懂的可以看这个栗子：
6的原码：0110； 6的补码：0110；
-6的反码：1001；（反码等于原码置反）
-6的补码：1010；（补码等于反码加一） （6的补码）&（-6的补码）=0110&1010=0010； 这样就只剩下最低为的1了！
下来正式解释几个常用的树状数组函数：
1.单点修改
void add(int x, int k)
{
while (x <= n)
{
tree[x] += k;
x += lowbit(x);
}
}因为树状数组是牵一发而动全身，所以一直lowbit即可，这个过程正是我之前所模拟的算式。你想啊要是A[1]要加k, 那么是不是后面要用到A[1]的都得加k！就是这个理！
2.区间查询
就是前缀和，比如查询x到y区间的和，那么就将从1到y的和减去从1到x的和。
从1到y的和求法是，将y转为2进制，然后一直减去lowbit(y)，一直到0
比如求1到7的和（配合开始那张图理解效果更佳！）
int sum(int x)
{
int ans=0;
while(x!=0)
{
ans+=tree[x];
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}3.区间修改&&单点查询
先给代码：
void add(int x, int k)//你没有看错，我和单点修改的代码是一样的！（主函数操作要变，请看下面解释！）
{
while (x <= n)
{
tree[x] += k;
x += lowbit(x);
}
}详细：
假设我们要修改[x， y]这个区间的数，我们想给这个区间所有的数都加k！那我们是不是可以给从x到n的所有数都加上k, 再给从y+1到n的所有数加上-k！
实际主函数中的操作：
add(x, k);
add(y + 1, -k);到
的所有数都加
,只是给
加了
（当然后面与
有关的也要改），然后再给
加了
（当然后面与C[y-1]有关的也要变），为什么会这样设定呢？按照常规思维的话这样操作会导致中间有的数未加上
，但是存在即合理！因为你要输出的时候是不是要引用
函数？
函数是不是会加上之前所有的数？那
和
之间的数是不是最终还是会加上x位置的那个
！！！
但是这个时候就又发现了一个问题，我想要单点查询怎么办？比如查询x+3这个位置上的数（），按照之前区间查询的思想
，那之前操作中要加上去的
怎么办？？？蛤！所以这里的树状数组就不能加上原数组中的数了，直接在初始时将树状数组全部置零，树状数组中只保存区间修改所操作的值
，这样就可以明目张胆的使用
了，直接从
加到
，反正又不会加到多余的数，毕竟原数组和树状数组没关系了嘛，只需要在输出的时候多加上一个原数组的当前的值就好！
比如像这样：
cout << A[x+3] + sum(x+3) << endl;所以单点查询的代码和区间查询也是一样的，只不过是主函数中的操作稍微变了下~
下面我贴两个模板题，有兴趣的话可以去康康：
P3374 【模板】树状数组 1 （单点修改+区间查询）
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int tree[500010];
int n, m;
int lowbit(int x)
{
return x & -x;
}
void add(int x, int k)
{
while (x <= n)
{
tree[x] += k;
x += lowbit(x);
}
}
int sum(int x)
{
int ans = 0;
while (x != 0)
{
ans += tree[x];
x -= lowbit(x);
}
return ans;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int a;
cin >> a;
add(i, a);
}
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
if (u == 1)
add(v, w);
else if (u == 2)
cout << sum(w) - sum(v - 1) << endl;
}
return 0;
}P3368 【模板】树状数组 2 （区间修改+单点查询）
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int tree[500010], y[500010];
int n, m;
int lowbit(int x)
{
return x & -x;
}
void add(int x, int k)
{
while (x <= n)
{
tree[x] += k;
x += lowbit(x);
}
}
int sum(int x)
{
int ans = 0;
while (x != 0)
{
ans += tree[x];
x -= lowbit(x);
}
return ans;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> y[i];
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int u, a, b, c, v;
cin >> u;
if (u == 1)
{
cin >> a >> b >> c;
add(a, c);
add(b + 1, -c);
}
else if (u == 2)
{
cin >> v;
cout << y[v] + sum(v) << endl;
}
}
return 0;
}
