随机抽样算法：蓄水池抽样

1. 先选取数据流中的前k个元素，保存在集合A中；
2. 从第j（k + 1 <= j <= n）个元素开始，每次先以概率p = k/j选择是否让第j个元素留下。若j被选中，则从A中随机选择一个元素并用该元素j替换它；否则直接淘汰该元素；
3. 重复步骤2直到结束，最后集合A中剩下的就是保证随机抽取的k个元素。

伪代码：

Init : a reservoir with the size： k
for i= k+1 to N
    M=random(1, i);
    if( M < k)
       swap the Mth value and ith value
end for

定理：该算法保证每个元素以 k / n 的概率被选入蓄水池数组。

证明：首先，对于任意的 i，第 i 个元素进入蓄水池的概率为 k / i；而在蓄水池内每个元素被替换的概率为 1 / k; 因此在第 i 轮第j个元素被替换的概率为 (k / i ) * (1 / k) = 1 / i。 接下来用数学归纳法来证明，当循环结束时每个元素进入蓄水池的概率为 k / n.

假设在 (i-1) 次迭代后，任意一个元素进入 蓄水池的概率为 k / (i-1)。有上面的结论，在第 i 次迭代时，该元素被替换的概率为 1 / i， 那么其不被替换的概率则为 1 - 1/i = (i-1)/i；在第i 此迭代后，该元素在蓄水池内的概率为 k / (i-1) * (i-1)/i = k / i. 归纳部分结束。

因此当循环结束时，每个元素进入蓄水池的概率为 k / n. 命题得证。