derivative 导数

keywords: 反函数求导  复合函数求导  参数方程求导 复合函数求导 导数定义

1.definition

对于一个函数

$f(x)=y$

当x 发生极其细微的变化时,在某点处产生改变量 $\Delta x$,另一个和其密切相关的值 y，同样发生变化 $\Delta y$（根据对应 x 所的 y 值的改变量）. 导数是一个反映两个变化的相关性的数值. 使用 莱布尼兹 发明的符号记为

$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

使用 增量的值无限接近于0 而不等于0来描述这种极其微小的相关变化. 若极限不存在则说明两个变换在该点处无关.

这里的 dy 和 dx 即二者增加量的近似值.均不为确切的改变量.

表示导数的另一种形式，另

$\begin{align}x=x_0+\Delta x \\\\x\to x_0\quad \Delta x=x-x0\to0\end{align}$

$f'(x)=\lim_{ x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

导数值和函数值密切相关.在某一点可导，函数在 该点的邻域内存在定义.

2.interval derivable

2.1 left and right derivative

将导数视为变化率的一种体现，对于函数某些极端的点，左右两侧的变换率差别大. 这一类定被认为是不可导的点.

确切的讲

$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty$

那么函数在这一点不可导.因为这个变化率是没有意义的,当 $\Delta x$ 向 0逼近，而 $\Delta y$ 的变换却不趋向于 0,这种变换不符合一般规律.

而体现一个点左右的两侧不同的变化率，则是使用左右导数（单侧导数）.

当从左右两侧 逼近 $x_0$ 时 即 $\Delta x$ 从左右两侧 趋近于 0，导数值的变换被区分为 左导数和右导数,当两侧趋近变换一致时.认为在该点时可导的(又或者是导数值是有意义的).

反之则确定函数在该点处不可导

2.2 derivative function

对于一个开区间 (a,b) 若f(x) 在 区间内每一点都可导,那么称f(x) 在区间(a,b) 内可导.

对于 闭区间$[a,b]$ 和连续一致，要求左端点存在右导数，右端点存在左导数. 那么f(x) 在区间内可导.

相应的，对于在区间内所有导数值的集合所构成的函数,即为导函数.又或者可以说 可以产生所有相应的正确的导数值的函数.

2.2.1 derivative function continuous

当 一个函数在一个 $x_0$ 点可导,那么函数在 $x_0$ 一定连续.但其导函数 $f'(x)$ 在$x_0$ 无法被证明连续.

3.derivative operate

3.1 elemental function

若有两个或多个 函数 $f(x)$ $g(x) \quad \cdots$ 均在 $x_0$ 点处可导, 那么它们的 和 差 积 商 ，均在 该点处可导.

（根据极限运算法则可证）

3.2 inverse function

一般情况下我们使用 $y=f(x)$ 来表示一个函数,即 y 是 x 的一个函数.特别的有 当 一个唯一的 y 对应一个 唯一的x 时,那么我们可以使用 y 通过逆向运算法则 $f^{-1}$ 向 x 映射. 也就形成了 反函数.

$\begin{align} y=f(x) \\\\ x=f^{-1}(y)\end{align}$

但其实反函数和函数是一个函数(本质上是的).但在笛卡尔坐标轴中，它们的图像不是一致的. 也很容易理解,我们的 x轴总是水平的那一条,y 是垂直的那一条. 在反函数中我们使用 y 去确定 x.那自然和原函数的图像不一致.

将坐标轴 环绕 y=x 旋转(或者可以说是翻转.将思维拓展到3维空间),如果学习过线性代数那么这就是一个线性变换. 那么即可得到 反函数的图像.

https://www.geogebra.org/m/t8eedpm3

（完整的图片链接，刚使不知道怎样嵌入 iframe）

函数 $y=x^3$ 在点(x,y)= ($\frac{1}{8},\frac{1}{2}$) 做切线 和 x 轴的夹角 为 $\alpha$. 那么斜率为 $\tan \alpha$ 使用空间变换. 得到反函数$x=y^{\frac{1}{3}}$ . 如图. 我们在 同样的一点

$(y,x)=(\frac{1}{2},\frac{1}{8})$

做 $x=y^{\frac{1}{3}}$ 的切线.和 y轴的夹角为 $\beta$ 那么根据线性变换的特线.又或者是 只存在一个函数 的原则. 我们都可以确定. 切线和 x y 轴所确定的角度不会随着空间的变换而改变. 又或者说是不会因为变为反函数而改变.

那么我们可以断定

$\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$

即二者互余.

那么根据直角三角形，我们易得.

$\begin{align}\tan \beta=\frac{1}{\tan \alpha} \end{align}$

最后导出反函数导数和原函数导数的关系

$f^{-1}(x)=\frac{1}{f'(x)}$

3.2 composite function

看了 3b1b 的视频.书上的证明不太看的懂.虽然我之前就说过,一定是我的确智商太低了，但是我还是想知道为什么.

存在 u=g(x) ,y=f(u). 我们想知道 x 变化时 y 相应的所发生的变化. 也就即 y 关于 x 的导数.

$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

现在问题是，运算我们无法直接得到 函数 y 和 x 的关系. 即 x 的变换并不直接带来 y 的变化. 而是通过 u 来传递这种变换.

我们从上往下求解. 求得 u 变换时 y 的变化情况. $\frac{dy}{du}$

$\begin{align}\frac{dy}{du}=y'(u) \\\\ dy=y'(u)du \end{align}$

那这里拆分了 $\frac{dy}{dx}$ 已经是微分了 那是不是还差一个 x增量的高阶 无穷小 如果要写成等式.

通过代数式，得出 y 的近似变换值 dy 和 du (u 的微小变化值近似值)的关系. 那么这个关系我们可以通过对

$\begin{align}\frac{du}{dx}=g'(x) \\\\ du=g'(x)dx \end{align}$

那么我们将 du 代回 得

$\begin{align} dy=y'(u)g'(x)dx \\ \\ \frac{dy}{dx}=y'(u)g'(x) \to y'(u)u'\end{align}$

最终也就得到复合函数的求导公式.

3.3 implicit function

不是所有的函数都是以 $y=f(x)$ 形式存在的,即一个值的改变引起另一个值的改变（即一个值必定对应着另一个值 映射）. 这是最基本的函数. 隐函数为隐藏在方程的变量之间的函数关系.

3.3.1 cycle equation

一个圆方程.

$x^2+y^2=n^2$

对 方程进行分析,我们可以得到 隐函数.

$\begin{align}x=\sqrt{n^2-y^2} \\\\ y=\sqrt{n^2-x^2} \end{align}$

对于方程 隐函数上所有点都满足方程.但所有隐函数的所有 点的集合却不等于 方程的所有点.

其实这里的方程应该视为 $$C=(x,y)$$ 对平面上 任意的 x,y 的输入 给定一个输出. 而圆方程将所有值限定在了一个圈上. C 的值由 x,y 和运算法则 $f$ 确定.

$f=x^2+y^2$

对与隐函数的求导,不能沿着 自变量 x 趋于零的微小变换 所带来的因变量 y 变换. 而是将其视为一个整体. 对这个整体的导数意为 , 在 x 和 y 同时发生变换时.整个方程值(含义) 所发生的变换.

我们可以通过对 C 求导来分析输入 (x,y) 的改变 x , y 变化 $dx$ y 变换 $dy$ 和方程值所相应产生的 变换 为 dC.

$\begin{align}dC=d(x^2)+d(y^2) \\ \\dC=(x^2)’dx+(y^2)'dy \\\\dC=2xdx+2ydy \end{align}$

这里的 $dx \quad dy \quad dC$ 均为微分的含义. $dC$ 的 的含义即为从 x 点 y 点 ，发生改变量 $dx\quad dy$ 后 C 所产生的改变量的近似值.

当 $dx\quad dy$ 无限接近与 0 时 ，dy 无限接近与 真实的改变量. 而对于特定的隐函数方程，我们需要维持特定的关系 诸如

$x^2+y^2=25$

那么 就要求 无论 $dx \quad dy$ 做出何种改变, dC 的值始终维持在 25. 也就是改变量 $dC$近似于0.

$\begin{align} 2xdx+2ydy=0\\\\ 2xdx=-2ydy\\\\\frac{2xdx}{-2y}=dy\\\\\frac{2x}{-2y}=\frac{dy}{dx} \end{align}$

由此得到了原方程中 y 和 x 的变换关系.

3.3.2 another equation

$\sin(x)y^2=x$

对于这样一个方程.我们同样把 $\sin(x)y^2$ 视为一个函数 $S(x,y)$ 给定两个输入 (x,y) 其对应法则 $f$

$f=sin(x)y^2$

分析 S 和 x ,y 变换的关系

$\begin{align} dS=d(sinx)d(y^2) \\\\ dS=cosxdx2ydy \end{align}$

同样 若是要满足方程 $\sin(x)y^2=x$ 那么根据方程 S 的改变量 $dS$ 被限定在和 x 的改变量近似值一致. $dS=dx$

有

$dS=cosxdx2ydy=dx$

最终也就得到了隐函数为什么对两侧同时求导是合理的,其实核心思想是多元下函数值被多个变量决定时的变换关系.

视频

https://www.bilibili.com/video/BV1kx411v7r8/?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=fa8ea7c6995e3982c2afe446d687b688

3.4 parameter equation

参数方程什么东西我不知道.

对于笛卡尔坐标系中，如果函数图像上任意一点都是 某个变量 t 的两个函数.

$\begin{cases} x=f(t) \\y=g(t) \end{cases}$

对于每一个允许取到的 t 值，方程组所生成的点最终形成一个图形 （曲线之类的）.那么我们可以将该方程称为曲线的参数方程. 联系 联系坐标函数的 t 称为 参数. 与参数方程相对的是一般方程.即直接给出图形上点的坐标.

讨论参数方程的求导,本意仍是在讨论 参数方程中 x,y 的变化关系. 即 $\frac{dy}{dx}$ 和复合函数一致,不能直接得到二者的关联关系. x,y 的值由两个函数给出. 另

$t=f^{-1}(x)$

那么可以联系 y 和 x 的关系

$y=g[f^{-1}(x)]$

那进行求导

$\frac{d(g[f^{-1}(x)])}{dx}=\frac{d(g(t))}{dx}$

显然不能直接对 $f^{-1}(x)$ 求 关于 x 的导数. 其实也可以 就是 f(t) 关于 x 导数的 倒数.

$g'(f^{-1}(x))\frac{1}{f'(t)}=\frac{g'(t)}{f'(t)}$

高阶导等我学了高导数的含义再来分析.

3.5 logarithm derivation

3.5.1 natural constant e

$e\approx 2.71828182846$

e,自然常数,一个无限不循环小数. 还是通过银行的复利引入吧. 我在银行存了钱，利息是 100% 一年,但我可以在一年内的 中途任意时间点取出.

假设我存入1元,存满一年我可以获得

$1+(1*100\%)=2$

我觉得不够多，于是我想出了一个更好的投资计划.在存到半年时取出我的钱(和利息一同),那么我可以得到.

$1+(1*50\%)=1.5$

然后我再将这 1.5 作为 本金 存入 银行

$1.5+(1.5*50\%)=2.25$

相较于直接存一年，我的收益提高了 12.5%. 只是分两次存取，我的收益便得到了显著的提高. 我的心中有了一个 good idea.

假设我可以无限的差分,我在一个极短间隔获得收益后取出，然后连带收益一同存入.我的钱就取之不尽了.

我们可以使用极限来描述这种行为.(不太好解释)

$\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$

n 趋近无穷即 即短时间内的无限存取. 最终它的值为 e

有两个物体以不同的方式增长，以一个小时为期限. 第一个物体的增长率为 100%,但它是到了1个小时的时间期限骤然增长的.

而第二个物体的增长是可以被拆分的，单是它和第一个物体的增长率是一致的,如果我们将一个小时分为2份，那么在30分钟 物体会增长到 原来的长度+原来长度的50%. (其实和我们的复利一致),将一个小时分为无限多份.那么该物体的增长可以被描述为.

$\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$

那么其实可以知道,这种连续的不断的变化,通过一个数字体现了 e.

其实无论是自然常数 e ,还是 jyy 老师在谈及并发时提到的 人的本质是 sequential creature 时.都说明了宏观上至少从人的视角看来我们的世界是连续的,万事万物都不是一蹴而就的.这便是自然  一词由来

3.5.2 logarithm

$a^x=b \to log_ab=x$

在数学历史中对数出现的时间早于指数. 在求导中对于 幂指函数 $y^x$ 类似 和 多项加减 等函数的求导，通过取同低的对数转换后易求.