Description
有一个n个点的有向图。
定义i能到达j时f(i,j)=1，否则f(i,j)=0。
对于每个点对(i,j)，给定以下三个条件中的某一个为真：
(1) f(i,j) and f(j,i)=1；
(2) f(i,j) or f(j,i)=1；
(3) f(i,j) xor f(j,i)=1。
求满足条件时的最小边数。
1<=n<=47。
Solution
对于and条件，两个点一定在同一个SCC中。对于xor条件，两个点一定不在同一个SCC中。这个可以判掉非法的情况。
由于两点之间一定满足一个条件，所以最后的图一定是一个包含很多个SCC的链；由于要求边最少，一个SCC肯定是由一个环构成的。所以答案为n−1+
n
−
1
+
环的个数。
所以我们要最小化环的个数，又因为有xor条件的两点不能在同一个环中，我们可以将题目转化成求一个最小的k
k
使得图可以被kk个独立集完全覆盖。
我们考虑另一个问题：求k
k
个独立集覆盖整张图（允许有交集）的方案数。
容斥一下，我们得到该问题的答案为∑S⊂V(−1)n−|S|cntk(S)∑S⊂V(−1)n−|S|cntk(S)。
其中cnt(S)
c
n
t
(
S
)
表示S
S
内独立集的个数。
那么我们从小到大枚举kk即可。（当然可以二分，但是没有必要）
Code
/************************************************
* Au: Hany01
* Date: Aug 30th, 2018
* Prob: CF908H
* Inst: Yali High School
************************************************/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double LD;
typedef pair<int, int> PII;
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define x first
#define y second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define y1 wozenmezhemecaia
template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
inline int read() {
static int _, __; static char c_;
for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
return _ * __;
}
const int maxn = 49, maxs = 1 << 23, MOD = 1e9 + 7;
int n, fa[maxn], sz[maxn], cnt[maxs], E[maxn], all, id[maxn], N, pw[maxs];
inline int ad(int x, int y) { return (x += y) >= MOD ? x - MOD : x; }
inline int Pow(int a, int b) {
static int Ans;
for (Ans = 1; b; b >>= 1, a = (LL)a * a % MOD) if (b & 1) Ans = (LL)Ans * a % MOD;
return Ans;
}
int find(int x) { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); }
inline void uni(int u, int v) { u = find(u), v = find(v); if (u != v) fa[u] = v, sz[v] += sz[u]; }
int main()
{
#ifdef hany01
freopen("cf908h.in", "r", stdin);
freopen("cf908h.out", "w", stdout);
#endif
static char str[maxn][maxn];
static int fu, fv, sum;
n = read();
rep(i, n) fa[i] = i, sz[i] = 1;
rep(i, n) {
scanf("%s", str[i]);
rep(j, n) if (str[i][j] == 'A') uni(i, j);
}
For(i, 1, n) if (fa[i] == i && sz[i] > 1) id[i] = N ++;
rep(u, n) For(v, u + 1, n) if (str[u][v] == 'X') {
if ((fu = find(u)) == (fv = find(v))) { puts("-1"); return 0; }
if (sz[fu] > 1 && sz[fv] > 1) E[id[fu]] |= (1 << id[fv]), E[id[fv]] |= (1 << id[fu]);
}
cnt[0] = 1, all = 1 << N;
For(i, 1, all - 1) {
register int t = (i & -i);
cnt[i] = ad(cnt[t ^ i], cnt[t ^ i ^ (i & E[__builtin_ctz(t)])]);
}
rep(i, all) pw[i] = 1;
for (register int k = 0; ; ++ k) {
sum = 0;
rep(i, all) {
sum = ad(sum, ((n - __builtin_popcount(i)) & 1) ? MOD - pw[i] : pw[i]);
pw[i] = (LL)pw[i] * cnt[i] % MOD;
}
if (sum) { printf("%d\n", n - 1 + k); return 0; }
}
}
