2022考研-高等数学教程

文章目录

• 第一章 函数，连续，极限

• 1.1 函数

• 概念和常见的函数
• 性质

• 1.2 极限

• 数列极限
• 函数极限
• 性质
• 易错问题
• 极限和无穷小的关系
• 极限存在准则
• 求极限方法8种

• 1.3 连续

• 定义
• 间断点
• 运算和性质

• 第二章 导数

• 2.1 导数和微分概念

• 导数定义
• 微分定义
• 几何意义
• 连续，可导，可微关系

• 2. 2 导数公式和求导法则

• 基本初等函数的导数
• 求导法则
• 规律

• 2.3 高阶导数

• 求n 阶导数

• 2.4 相关性
• 2.5 常见题型

• 第三章 微分中值定理及导数应用

• 3.1 微分中值定理

• 费马定理
• 罗尔定理
• 拉格朗日定理
• 柯西中值定理
• 皮亚诺余项泰勒公式(局部)
• 拉格朗日余项泰勒公式(整体)

• 3.2 导数的应用

• 单调性
• 极值点
• 驻点
• 最值
• 曲线的凹凸性
• 拐点
• 渐进线
• 曲率

• 3.3 题型

• 第四章 不定积分

• 4.1 不定积分概念
• 4.2 基本公式
• 4.3 三种积分方法

• 1. 第一类换元法(凑微分)
• 2. 分部积分
• 3. 第二类换元法

• 4.4 三种常见可积函数的积分

• 1. 有理函数的积分
• 2. 三角有理式积分
• 3. 简单无理数积分
• 4. 图片解析

• 第五章 定积分和反常积分

• 5.1 定积分

• 题型
• 概念性质
• 积分上限函数
• 定积分的计算
• 可爱因子

• 5.2 反常积分

• 无穷区间上的积分
• 无界函数的反常积分
• 题型

• 第六章 定积分应用

• 6.1 几何应用

• 平面图形的面积
• 旋转体体积
• 曲线弧长
• 旋转体侧面积

• 6.2 物理应用

• 压力
• 变力做功
• 引力

• 第七章 微分方程

• 7.1 常微分方程的基本概念
• 7.2 一阶微分方程
• 7.3 可降阶的高阶方程
• 7.4 高阶线性微分方程

• 齐次方程
• 非齐次方程
• 常系数齐次线性微分方程
• 常系数非齐次线性微分方程

• 7.5 题型

• 第八章 多元函数微分学

• 8.1 重极限，连续，偏导数，全微分

• 二元函数
• 二元函数的极限
• 多元函数的连续性
• 偏导数(不会)
• 全微分
• 连续，可导，可微的关系
• 题型

• 8.2 多元函数微分法

• 复合函数微分法
• 隐函数微分法

• 8.3 多元函数的极限和最值

• 无约束极值
• 条件极值与拉格朗日乘法
• 最大最小值
• 题型

• 8.4 伯努利方程
• 8.5 欧拉方程

• 第九章 二重积分

• 9.1 二重概念的概念与性质
• 9.2 二重积分计算
• 9.3 题型

• 第十章 无穷级数

• 10.1 常数项级数

• 级数的概念与性质
• 级数的审敛准则
• 题型

• 10.2 幂级数

• 收敛半径 收敛区域 收敛域
• 幂级数的性质
• 函数的幂级数展开
• 题型

• 10.3 傅里叶级数

• 傅里叶系数与傅里叶级数
• 收敛定理
• 函数展开为傅里叶级数

• 题型

• 第十一章 向量代数在空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

• 11.1 向量代数

• 数量积
• 向量积
• 混合积
• 题型

• 11.2 空间平面 与直线

• 平面方程
• 直线方程
• 平面与直线的关系
• 点到面的距离
• 点到直线的距离

• 11.3 曲面与空间曲线

• 曲面方程
• 空间曲线
• 常见曲面
• 空间曲线投影

• 11.4 多元微分在几何应用

• 曲面的切平面与法线
• 曲线的切线与法平面

• 第十二章 多元积分学及其应用

• 12. 1 三重积分

• 定义
• 性质
• 计算

• 12.2 曲线积分

• 对弧长的线积分(第一类线积分)
• 对坐标的线积分(第二类线积分)

• 12.3 曲面积分

• 对面积的面积分(第一类面积分)
• 对坐标的面积分(第二类面积分)

• 12.4 多元积分应用
• 12.5 场论初步

• 方向导数
• 梯度
• 散度
• 旋度

• 错题集锦

• 高数部分

第一章 函数，连续，极限

1.1 函数

概念和常见的函数

常见函数分类

• 符号函数
• 取整函数
• 隐函数
• 分段函数
• 基本初等函数

• 常值函数
• 幂函数
• 三角函数
• 指数函数
• 对数函数
• 反三角函数

性质

• 周期性
• 单调性
• 奇偶性
• 有界性

1.2 极限

数列极限

$定义\;\;\;\lim_{\Delta x \to \infty} =A$

$\forall \epsilon>0 ,\exists N>0 ,当n>N时，恒有|X_n-A|< \epsilon$

函数极限

$定义\;\;\;\lim_{\Delta x \to \infty}f(x)=A$

$\forall \epsilon >0 ,\exists N ， 当n>N 时，恒有| f(n)-A|<\epsilon$

性质

• 有界性
• 保号性$\lim_{\Delta x \to \infty}f(x)=A \; 如果A>0,那么\exists N>0,当n>N 时，f(n)>0$$

易错问题

• 分段函数的左极限和右极限
• $e^{\infty}型的极限$
• $arctan(\infty)型极限 \qquad arctan(x)_{x \to +\infty}=\frac{\pi}{2}$

极限和无穷小的关系

• 概念
• 无穷小的比较

• 高阶$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$
• 低阶$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty$
• 同阶$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=A; \;A\ne 0$
• 等价$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$

• 性质

• 有限个无穷小量依旧是无穷小
• 有限个无穷小量的积依旧是无穷小
• 有界变量乘以无穷小依旧是无穷小

极限存在准则

• 夹逼准则
  一般用在n项和 的地方
• 单调有界准则
  单调增，有上界必有极限
  单调减，有下界必有极限

求极限方法8种

• 利用基本极限求极限

$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$ $\lim_{\Delta x \to 0 }(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$ $\lim_{\Delta x \to \infty} \sqrt [n] n=1$

• 利用等阶无穷小代换求极限

原式	无穷小
$\lim_{\Delta x \to \infty} \sqrt [n] n=1$	$\lim_{\Delta x \to \infty} \sqrt [n] n=1$
$\lim_{\Delta x \to \infty} \sqrt [n] n=1$
$ x-ln(1+x)$

• 利用有理运算法则求极限
• 利用洛必达求极限
• 利用泰勒公式求极限
  常见的泰勒展开式(拉格朗日余项)

原式	展开式
$若 \lim_{\Delta x \to x_0} f(x)=f(x_0) 则称y=f(x)在点x_0处连续$	$若 \lim_{\Delta x \to x_0} f(x)=f(x_0) 则称y=f(x)在点x_0处连续$

• 利用夹逼准则求极限
• 利用单调有界准则求极限
• 利用定积分求极限

1.3 连续

定义

$若 \lim_{\Delta x \to x_0} f(x)=f(x_0) 则称y=f(x)在点x_0处连续$

间断点

• 定义

$若f(x)在x_0某去心领域有定义，但在x_0处不连续，则称x_0为f(x)的间断点$

• 分类

• 第一类间断点：左右极限均存在
  可去间断点：左极限=右极限
  跳跃间断点：左极限 不等于 右极限
• 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在
  无穷间断点
  震荡间断点

运算和性质

• 零点定理
• 介值定理

第二章 导数

2.1 导数和微分概念

导数定义

$f^\prime(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x）-f(x_0)}{\Delta x}$

微分定义

$如果\Delta y=f(x_0 +\Delta x)-f(x_0)\;可以表示为\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\;\; (\Delta \to 0)\\则称 函数f(x)在点x_0处可微 称A\Delta x 为微分，记为dy=A\Delta x$

定理二
$函数y=f(x)在点x_0 处可微的充分必要条件是f(x_0)在点x_0处可导，且有 \\ dy=f^\prime(x_0)\Delta x=f^\prime(x_0)dx$

几何意义

• 斜率
• 切线方程
• 法线方程

连续，可导，可微关系

$可导\Leftrightarrow 可微$

$可导\Rightarrow 连续$

$可微\Rightarrow 连续$

一阶可导 推不出 一阶导函数连续

一阶可导 推不出 一阶极限存在

2. 2 导数公式和求导法则

基本初等函数的导数

原函数	导数
$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$	$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$

求导法则

• 有理运算法则

$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$

$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^prime$

$\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^\prime v-uv^\prime}{v^2}$

• 复合函数求导法
• 隐函数求导

$F(x,y)=0 \; \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$

• 反函数求导

$\varphi^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(x)}$

• 参数方程
  $y=y(x)是由\begin{cases}x=\phi(x) \\ y=\varphi(x)\end{cases},(\alpha<t<\beta)确定的函数， \\ 则\frac{dy}{dx}=\frac{\varphi^\prime(t)}{\phi^\prime(t)}$
• 对数求导法
  一般应用成幂指函数

规律

$设f(x)可导$

$f(x) 是奇函数，则f^\prime(x)是偶函数$

$f(x)是偶函数，则f^\prime(x)是奇函数$

$f(x)是周期函数，则f^\prime(x)也是周期函数$

2.3 高阶导数

$(sinx)^{(n)}=sin(x+n\frac{\pi}{2})$

$(u+v)^{(n)}=u^{(n)}+v^{(n)}$

$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^ku^{(k)}v^{(n-k)}$

求n 阶导数

• 公式
• 归纳
• 泰勒公式

2.4 相关性

2.5 常见题型

• 导数的定义
• 复合函数，隐函数，参数方程求导
• 高阶导数
• 导数的应用

第三章 微分中值定理及导数应用

3.1 微分中值定理

费马定理

$如果函数f(x)在x_0处可导，且在x_0 处取得极值,那么f^\prime(x_0)=0$

罗尔定理

$若f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则\exists \xi \in(a,b) ,f^\prime(\xi)=0$

拉格朗日定理

$设f(x)在闭区间[a,b]内上连续，在开区间(a,b)上可导，则至少存在一点\xi \in (a,b) 使得f(b)-f(a)=f(\xi)(b-a)$

柯西中值定理

$设f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g^\prime(x) \neq 0,x\in (a,b),至少存在一点 \xi \in (a,b),使得 \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^\prime (x)}{g^\prime(x)}$

皮亚诺余项泰勒公式(局部)

• 极限
• 极值
• 麦克劳林公式

拉格朗日余项泰勒公式(整体)

• 不等式
• 最值

3.2 导数的应用

单调性

$f^\prime(x)>0 \; f(x) 递增$

$f^\prime(x)<0 \; f(x) 递减$

极值点

驻点

一阶导数为零。

$f^\prime(x)=0$

最值

曲线的凹凸性

拐点

使函数凹凸性改变的点。

二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

$f^{\prime \prime}(x)<0 \;凸函数$

$f^{\prime \prime}(x)>0 \;凹函数$

渐进线

• 水平渐进线，最多两条

$\lim_{x \to \infty }f(x)=A$

• 垂直渐近线，无穷多条

$\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty$

• 斜渐近线

$\lim_{x \to \infty }\frac{f(x)}{x}=a \\ b=\lim_{x \to \infty} f(x)-ax\\ y=ax+bs是y=f(x)的渐近线$

曲率

• 参数方程
  $K(t)=\frac{\mid x^\prime(t)y^{\prime\prime} (t)-x^{\prime \prime}y^\prime(t)\mid}{\left((x^\prime (t))^2+(y^\prime(t))^2 \right)^{\frac{3}{2}}}$
• 直角坐标系
  $K=\frac{\mid y^{\prime \prime}\mid }{(1+y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}$
• 空间参数曲线 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6UzfCqWt-1630029175260)(https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/1.svg)] 的曲率
  [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FH8H39NB-1630029175261)(https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/2sdasdadqwd21dsadad.svg)]

3.3 题型

• 求极限
• 函数的极值和最值，曲线的凹向和拐点
• 曲线的渐近线
• 方程的根
• 不等式的证明
• 中值定理的证明题

第四章 不定积分

4.1 不定积分概念

$\int f(x)d(x)=F(x)+C$

• 定理

$若f(x)在区间I 上连续，在则f(x)在区间I 上一定存在原函数$

$若f(x)在区间I 上有第一类间断点，在则f(x)在区间I 上一定不存在原函数$

4.2 基本公式

积分	原函数
$若f(x)在区间I 上有第一类间断点，在则f(x)在区间I 上一定不存在原函数$	$若f(x)在区间I 上有第一类间断点，在则f(x)在区间I 上一定不存在原函数$
$若f(x)在区间I 上有第一类间断点，在则f(x)在区间I 上一定不存在原函数$	$若f(x)在区间I 上有第一类间断点，在则f(x)在区间I 上一定不存在原函数$
$\int \frac{dx}{a2-x2} $

4.3 三种积分方法

1. 第一类换元法(凑微分)

$\int f(u)du=F(u)+C$

• 例题

$\int \frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx$

2. 分部积分

$\int u dv=uv-\int vdu$

适用于两类不同函数相乘，反对幂指三

3. 第二类换元法

$设x=\phi(x) 是单调的，可导的函数，并且\phi^\prime(t)\ne 0,又\int f[\phi(t)]\phi^\prime(t)dt=F(t)+C \\ 则\int f(x)dx=\int f[\phi(t)]\phi^\prime(t)dt=F(t)+C$

• $\sqrt{a^2-x^2}$ $x=asint$
• $\sqrt{a^2+x^2}$ $x=atant$
• $\sqrt{x^2-a^2}$ $x=asect$

4.4 三种常见可积函数的积分

1. 有理函数的积分

$\int R(x)dx$

• 一般法，部分分式法

$\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}dx$

$\int \frac{dx}{x(x^9+1)}$

2. 三角有理式积分

$\int R(sinx,cosx) dx$

• 一般法，万公式$tan\frac{x}{2}=t$
• 特殊法，三角换元，分部

3. 简单无理数积分

4. 图片解析

函数	图像
$\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}dx$

第五章 定积分和反常积分

5.1 定积分

题型

• 定积分概念，性质和几何意义
• 变上限定积分
• 定积分的计算

概念性质

• 定积分存在的充分条件

$f(x)在[a,b]上连续，则f(x)可积$

$f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点,则f(x)可积$

$f(x)在[a,b]上仅有有限个第一类间断点，则f(x)可积$

• 不等式

$m(b-a)\leq \int_{a}^bf(x)dx \leq M(b-a)$

• 中值定理

$f(x)函数可积，函数一定有定积分,F(x)连续有界\\ f(x)在x=x_0 处连续，则\mid f(x)\mid 在x=x_0 处连续$

积分上限函数

$设f(x) 在[a,b] 上连续，则\int_a^xf(t)dt 在[a,b]上可导且\left( \int_a^xf(t)dt\right)^\prime=f(x)$

$\left(\int_{e^x}^{x^2}f(t)dt\right)^\prime=\\\ \left( \int_{e^x}^0f(t)dt+\int_0^{x^2}f(t)dt\right)^\prime$

$总结:\left(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt=f(\phi(x)\phi^\prime(x)-f(\varphi(x))\phi^\prime(x)\right)$

例题

$\int_0^x(x-t)f(t)dt$

$\int_1^2f(x+t)dt$

定积分的计算

• 牛顿-莱布尼兹公式

$\int_a^bf(x)dx=F(a)-F(b)$

• 换元法
• 分布积分法
• 利用周期性，奇偶性
• 利用公式

名称
华莱士公式	$\int_1^2f(x+t)dt$
伽马公式	$\int_1^2f(x+t)dt$ $\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+………\frac{1}{n+n})=$ $\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+………\frac{1}{n+n})=$ $\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+………\frac{1}{n+n})=$
	$\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+………\frac{1}{n+n})=$

可爱因子

$\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+………\frac{1}{n+n})=$

• 先提$\frac{1}{n}$
• 然后看$\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n} \sum_i^\infty f(\xi_i)$
• $f(\xi_i) 就是积分$
• 此题就是$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left[\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+\frac{1}{1+\frac{3}{n}}+……\frac{1}{1+\frac{n}{n}}\right]$

$=\int_0^1\frac{1}{1+x}dx$

看变化部分

$n\to \infty 时，\frac{变化}{主体}=0 就用夹逼定理$

$n\to \infty 时，\frac{变化}{主体}=A\ne 0 就用定积分$

5.2 反常积分

无穷区间上的积分

$\int_a^{+\infty}=\lim_{t \to +\infty}\int_a^tf(x)dx$

$\int_{-\infty}^{b}=\lim_{t \to -\infty}\int_t^bf(x)dx$

常用结论
$\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^P}dx;\begin{cases} P>1\; 收敛 \\ p\leq 1\; 发散\end{cases}$

无界函数的反常积分

$设a为f(x)的无界点，\int_a^bf(x)dx=\lim_{t \to a^+}\int_t^bf(x)dx$

常用结论
$\int_a^{b} \frac{1}{(x-a)^P}dx;\begin{cases} P<1\; 收敛 \\ p\ge 1\; 发散\end{cases}$

题型

• 反常积分的敛散性
• 反常积分的计算

第六章 定积分应用

6.1 几何应用

平面图形的面积

• 坐标系

$\int_a^b[f(x)-g(x)]d x$

• 极坐标

$\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta \rho^2(\theta)d\theta$

旋转体体积

• 绕x轴转

$V_x=\pi\int_a^bf^2(x)d x$

如果是参数方程 直接往里面带

• 绕y轴转

$V_y=2\pi \int_a^bx f(x) d x$

• 万能公式

$V=2\pi\iint_D r(x,y)d\sigma$

曲线弧长

• 坐标系

$s=\int_a^b \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x$

• 参数方程

$s=\int_\alpha^\beta \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}} d t$

• 极坐标

$s=\int_\alpha^\beta \sqrt{\rho^2+\rho^{\prime 2}}d \theta$

旋转体侧面积

$S=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}d x$

6.2 物理应用

压力

变力做功

引力

第七章 微分方程

7.1 常微分方程的基本概念

• 微分方程
• 微分方程的阶
• 微分方程的解
• 微分方程的通解
• 微分方程的特解

7.2 一阶微分方程

• 可分离变量的方程
  $y^\prime=f(x)f(y)$
• 齐次方程
  $\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$
  $令\frac{y}{x}=u\\ u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u)$
• 线性方程
  $y^\prime+P(x)y=Q(x)$

$通解 y=e^{-\int p(x)dx}\left[ \int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right]$

• 伯努利方程

$y^\prime +P(x)y=Q(x)y^\alpha \\ 令y^{1-\alpha=u}$

• 全微分方程

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

• 偏积分
• 凑微分
• 线积分

7.3 可降阶的高阶方程

• $y^{\prime \prime}=f(x)$
• $y^{\prime \prime}=f(x,y^\prime)$
  $令y^\prime=p \\ y^{\prime \prime} =\frac{d p}{d x}$
• $y^{\prime \prime}=f(y,y^\prime)$
  $令y^\prime=p,y^{\prime \prime}=P\frac{dP}{dy}$

7.4 高阶线性微分方程

齐次方程

$y^{\prime \prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=0$

通解为
$如果y_1(x)和y_2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$

非齐次方程

$y^{\prime \prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=f(x)$

通解为
$如果y^*为非齐次方程是一个特解，y_1(x)和y_2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x)$

常系数齐次线性微分方程

$y^{\prime \prime }+py^\prime+qy=0$

特征方程

$r^2+pr+q=0\\ r1,r2 为特征方程的两个根$

情况		解
共轭复根	$r^2+pr+q=0\\ r1,r2 为特征方程的两个根$	$r^2+pr+q=0\\ r1,r2 为特征方程的两个根$
相等根	$r^2+pr+q=0\\ r1,r2 为特征方程的两个根$	$r^2+pr+q=0\\ r1,r2 为特征方程的两个根$
不相等根	$y^{\prime \prime }+py^\prime+qy=f(x)$	$y^{\prime \prime }+py^\prime+qy=f(x)$

常系数非齐次线性微分方程

$y^{\prime \prime }+py^\prime+qy=f(x)$

$y^{\prime \prime }+py^\prime+qy=f(x)$	$y^{\prime \prime }+py^\prime+qy=f(x)$	特$特征方程的根和没有\lambda 相同，但是只有一个;k=特征方程的根和 有\lambda 相同,且有两个;k=2$

7.5 题型

• 微分方程求解
• 应用题
• 综合题

第八章 多元函数微分学

8.1 重极限，连续，偏导数，全微分

二元函数

二元函数的极限

• 取绝对值，然后夹逼准则

多元函数的连续性

• 概念

$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$

• 性质
  多元连续函数 和，差，积，商依旧是连续函数
  复合函数依旧为连续函数
  多元初等函数再其定义域内连续
• 计算二重极限

• 极限性质

偏导数(不会)

• 定义

$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\frac{d}{dx}f(x,y_0)|_{x=x_0}$

$f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}=\frac{d}{dy}f(x_0,y)|_{y=y_0}$

求导数，先带后求。求x在某处偏导数是否存在

$先带后求，f^\prime _x(x,0),在带x=0 \\ 直接先求导数 f^\prime_x ,然后再带x=0,y=0 ,如果两个相等，说明偏导数\frac{\partial f}{\partial x}在(x_0,y)处连续$

全微分

$若\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$

可微存在的必要条件
$如果z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微，则在点(x_0,y_0)处 \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}必定存在 ，且\\ dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$
可导可以推出两个偏导数都存在，
$在f(x,y)在x_0,y_0 处可微，\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=0,\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0$

• 用定义判定可微性

$f_x(x_0,y_0)与f_y(x_0,y_0)是否都存在$

$\lim_{(\Delta x,\Delta y )\to(0,0)} \frac{\Delta z-|f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y|}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} 是否为零$

连续，可导，可微的关系

$如果z=f(x,y)的偏导数,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}在点(x_0,y_0)处连续，则函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微$

连续 推不出 偏导

偏导 推不出 连续

连续 推不出 可微

$可微 \Rightarrow 偏导$

$可微 \Rightarrow 连续$

题型

连续性，可导性，可微性

8.2 多元函数微分法

复合函数微分法

$设u=u(x,y),v=v(x,y)在点（x,y）处有对x及对y的偏导数，\\函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处连续偏导数，\\则z=f[u(x,y),z(x,y)]在点(x,y)处的两个偏导数存在，且有\\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}，\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

全微分不变性

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$

隐函数微分法

$由方程F(x,y,z)=0，确定的隐函数z=z(x,y),$

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^\prime}{F_z^\prime}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^\prime}{F_z^\prime}$

8.3 多元函数的极限和最值

无约束极值

$设z=f(x,y)在点（x_0,y_0)存在偏导数，且(x_0,y_0)为f(x,y)极值点，则\\ f_x^\prime(x_0,y_0)=0,f_y^\prime(x_0,y_0)=0,$

$f_x^\prime(x_0,y_0)=0,f_y^\prime(x_0,y_0)=0, 这样子的点叫做驻点，极值点 \Rightarrow 驻点 ，\\ 在某一段有界连续区间内，函数只有唯一的极值点，取得极值点的地方不一定是最大值或者是最小值。但是在一元函数上是成立的$

求极值
$令f_x^\prime(x_0,y_0)=0,f_y^\prime(x_0,y_0)=0,\\ 求出x,y 的值 \\ 然后求A=f^\prime_{xx},B=f^\prime_{xy},C=f^\prime_{yy},\\ AC-B^2>0,有极值，A>0 有极小值，A<0有极大值\\ AC-B^2<0,表示没有极值，\\ AC-B^2=0，有待进一步商讨$

条件极值与拉格朗日乘法

$函数f(x,y)在条件 \varphi(x,y)=0条件下的极值$

拉格朗日函数
$令F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \varphi(x,y) \\ \begin{cases} F_x=f_x^\prime(x,y)+\lambda \varphi_x^\prime(x,y)=0\\ F_y=f_y^\prime(x,y)+\lambda \varphi_y^\prime(x,y)=0\\ F_\lambda=\varphi(x,y)=0 \end{cases}$
$函数f(x,y)在条件 \varphi(x,y)=0,\phi(x,y,z)=0条件下的极值$

$令F(x,y,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda \varphi(x,y,z)+\mu \phi(x,y,z)$

最大最小值

题型

• 求极值
• 求最大最小值
• 最大值和最小值应用题

8.4 伯努利方程

$y^\prime+P(x)y=Q(x)y^n \\ y^{-n}y^\prime +p(x)y^{1-n}=Q(x) \\ 令u=y^{1-n},方程就变成了\\ \frac{1}{1-n}\frac{du}{dx}+p(x)u=Q(x),就可以进行微分方程的求解$

8.5 欧拉方程

$x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}++p_{n-1}xy^\prime+p_n=f(x)\\ 令x=e^t,t=lnx,\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$

第九章 二重积分

9.1 二重概念的概念与性质

$\iint_Df(x,y)d\sigma =\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)\Delta \sigma_i$

9.2 二重积分计算

• 利用直角坐标系
  先y后x
  先x后y
• 利用极坐标

$先\rho 后\theta \iint_D f(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho cos\theta,\rho sin\theta)\rho d\rho$

• 利用极坐标计算的被积函数

$f(\sqrt{x^2+y^2},f(\frac{y}{x}),f(\frac{x}{y})$

适合用极坐标的积分域，

$x^2+y^2 \leq R^2$

$r^2\leq x^2+y^2\leq R^2$

$x^2+y^2 \leq 2ax$

• 利用对称性和奇偶性计算若积分域D关于y 轴对称，则
  $\iint_Df(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_x\ge0}f(x,y)d\sigma ;f(-x,y)=f(x,y)\\ 0;f(-x,y)=-f(x,y) \end{cases}$
• 利用变量对称性计算
  若D 关于y=x 对称,则

$\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\iint_D f(y,x)d\sigma$

9.3 题型

• 累次积分交换次序及计算
• 二重积分的计算

第十章 无穷级数

10.1 常数项级数

级数的概念与性质

• 概念

$\sum_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+u_3+……+u_n+……$

$S_n=\sum_{i=1}^n u_i=\lim_{n \to \infty}s_n$

极限存在，就收敛

极限不存在，就发散

• 性质

$若\sum_{n=1}^\infty u_n 收敛于s,则\sum_{n=1}^\infty ku_n 也收敛，且其和为ks$

$收敛 \pm 发散=发散$

$发散\pm 发散=不确定$

在级数中去掉，加上或改变有限项不影响级数的敛散性

收敛级数加括号仍收敛且和不变

级数的审敛准则

• 正项级数

$\sum_{n=1}^\infty u_n收敛 \Leftrightarrow s_n 上有界$

判别方法

• 比较判别法

$u_n\le v_n$

$\sum_{n=1}^\infty v_n 收敛 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n 收敛$

• 比较法极限形式

$\lim_{n \to \infty }\frac{u_n}{v_n}=l$

$\begin{cases} 0<l< \infty ,则\sum_{n=1}^{\infty}u_n 与\sum_{n=1}^{\infty}v_n 同敛散 \\ l=0 ，则\sum_{n=1}^{\infty}v_n 收敛\Rightarrow u_n收敛，\sum_{n=1}^{\infty} u_n 发散\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}v_n 发散\end{cases}$

• 常用级数

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},p>1 时收敛，p\le 时发散$

$\sum_{n=1}^{\infty}a q^n，q<1 收敛，当q \ge 1 发散$

• 比值法

$\lim_{n \to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$

• 根值法

$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{u_n}=\rho$

• 交错级数
  莱布尼兹准则
  $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n,u_n>0 \\(1) u_n单调递减 \\(2)\lim_{n \to \infty }u_n=0 \\ 则\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n 收敛$
• 任意项级数
  绝对收敛和条件收敛

$\sum_{n=1}^\infty|u_n|收敛\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n 收敛，此时\sum_{n=1}^\infty u_n 绝对收敛$

$若\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛， \sum_{n=1}^\infty |a_n|发散，则称\sum_{n=1}^\infty a_n 条件收敛$

题型

• 常数项级数敛散性的判定

10.2 幂级数

收敛半径 收敛区域 收敛域

$\sum_{n=1}^\infty a_nx^2=a_0+a_1x+a_2x^2+……+a_nx^n$

• 阿贝尔定理

$若\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 当x=x_0(x\ne 0)时收敛，则当|x|<|x_0| 时，\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 绝对收敛\\ 若\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 当x=x_0(x\ne 0)时发散，则当|x|>|x_0| 时，\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 发散$

*$对于任何x\in (-\infty,+\infty)都收敛$

• 仅在x=0处收敛
  *$存在一个正数R,当|x|<R 时绝对收敛，当|x|>R时发散$
  *$若幂级数\sum_{n=0}^\infty a_nx^n 处条件收敛，则点x_0 必为该幂级数收敛 区间(-R,R)的一个端点$

*$\lim_{n \to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho ，则R=\frac{1}{\rho}$
*$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho ，则R=\frac{1}{\rho}$

幂级数的性质

$设\sum_{n=0}^\infty a_nx^n 的收敛半径为R_1,\sum_{n=0}^\infty b_nx^n 收敛半径为R_2,令R=min{R_1,R_2},则当x\in(-R,R)$

• 加减法

$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\pm\sum_{n=0}^\infty b_nx^n=\sum_{n=0}^\infty(a_n\pm b_n)x^n$

• 可积性
  和函数S(x)在（-R,R)上可积，且可逐项积分，半径不变

函数的幂级数展开

$如果函数f(x)在区间(x_0-R,x_0+R)上能展开为x-x_0的幂级数f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n ,则其展开式是唯一的 \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}x_0}{n!}(x-x_0)^n, \\f(x)在x=x_0处的泰勒级数$

常见的级数展开

原式	展开式
$如果函数f(x)在区间(x_0-R,x_0+R)上能展开为x-x_0的幂级数f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n ,则其展开式是唯一的 \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}x_0}{n!}(x-x_0)^n, \\f(x)在x=x_0处的泰勒级数$	$如果函数f(x)在区间(x_0-R,x_0+R)上能展开为x-x_0的幂级数f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n ,则其展开式是唯一的 \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}x_0}{n!}(x-x_0)^n, \\f(x)在x=x_0处的泰勒级数$
$如果函数f(x)在区间(x_0-R,x_0+R)上能展开为x-x_0的幂级数f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n ,则其展开式是唯一的 \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}x_0}{n!}(x-x_0)^n, \\f(x)在x=x_0处的泰勒级数$	$如果函数f(x)在区间(x_0-R,x_0+R)上能展开为x-x_0的幂级数f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n ,则其展开式是唯一的 \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}x_0}{n!}(x-x_0)^n, \\f(x)在x=x_0处的泰勒级数$

展开方法

• 直接展法
• 间接展开法
  根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导）及变量代换等方法，求的所给函数的展开式

题型

• 求收敛半径 收敛区间及收敛域
• 将函数展开为幂级数
• 级数求和

10.3 傅里叶级数

傅里叶系数与傅里叶级数

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……\\ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cosnx+b_n sinnx)$

收敛定理

$设f(x)在[-\pi,\pi]上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数在[-\pi,\pi]上处处收敛，且收敛于\\ S(x)=f(x)， 当x=为f(x)的连续点\\ S(x)=\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2} ，当x为f(x)的间断点\\ S(x)=\frac{f((-\pi)^+)+f((\pi)^-)}{2},当x=\pm \pi$

函数展开为傅里叶级数

• $[-\pi,\pi]上展开$
  $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……\\$
• $[-\pi,\pi]上就奇偶函数的展开$
• $f(x)为奇函数$
  $a_n=0\\ b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……$
• $f(x)为偶函数$
  $a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……\\ b_n=0 ，n=1,$
• $[0,\pi]上展开为正弦函数$
• $[-l,l]上展开$

$a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos(\frac{n\pi x}{l})dx,n=0,1,2,3,……\\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin(\frac{n\pi x}{l})dx,n=1,2,3,……$

• $[-l,l]上奇偶函数展开$
• $[0,l]上展开为正弦函数$

题型

• 有关收敛定理的问题
• 讲函数展开为傅里叶级数

第十一章 向量代数在空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

11.1 向量代数

数量积

$\vec a\cdot \vec b=|\vec a||\vec b| cos\alpha \\ \vec a\cdot \vec b=\vec a_x\vec b_x+\vec a_y\vec b_y+\vec a_z\vec b_z\\$

• 交换律
• 分配律
• 求模
• 求夹角
• 判断两个向量垂直

向量积

$几何表示 \vec a\times \vec b 是一个向量，模|\vec a\times \vec b|=|\vec a||\vec b|sin \alpha$

*$\vec a\times \vec b =-(\vec b \times \vec a)$

• 分配律$\vec a\times(\vec b+\vec c)=\vec a\times \vec b+\vec a \times \vec c$
• 判断两向量平行$\vec a//\vec b \Leftrightarrow \vec a \times \vec b=0$
• 求四边形面积
• 求同时垂直于a和b 的向量

混合积

$(\vec a \vec b\vec c)=(\vec a\times \vec b)\cdot \vec c$

• 运算规律
  轮换对称
  交换变号
• 几何应用

$V_{平行六面体}=|(\vec a\vec b\vec c)|$

判断三个向量共面

题型

• 向量的计算

11.2 空间平面 与直线

平面方程

• 一般式

$Ax+By+Cz+D=0$

• 点法式

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

• 截距式

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

直线方程

• 一般式
• 对称式

$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$

• 参数式

$x=x_0+lt,y=y_0+mt,z=z_0+nt$

平面与直线的关系

点到面的距离

$点(x_0,y_0,z_0)到Ax+By+Cy+D=0的距离$

$d=\frac{|Ax_0+By+0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

点到直线的距离

$点(x_0,y_0,z_0)到直线\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}\\ d=\frac{|\{x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0|\}\times\{l,m,n\}}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$

11.3 曲面与空间曲线

曲面方程

一般式 F(x,y,z)=0 或者z=f(x,y)

空间曲线

• 参数方程

$\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{cases}$

• 一般式

$\begin{cases}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{cases}$

常见曲面

• 旋转面
  一条平面曲线绕平面上一条直线旋转
  $L是yoz平面上一条曲线，其方程是\begin{cases}f(y,z)=0\\ x=0\end{cases}，则\\ L绕Y轴旋转所成的旋转面方程为f(y,\pm \sqrt{x^2+z^2})$
• 柱面 平行定直线并沿定曲线移动的直线L,形成
• 二次曲面

• 椭圆锥面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$，圆锥面$x^2+y^2=z^2$
• 椭球面
• 单页双曲面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
• 双叶双曲面
  $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
• 椭圆抛物面
  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$
• 旋转抛物面
  $z=x^2+y^2$
• 双曲抛物面

空间曲线投影

$曲线 \Gamma :\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0\end{cases}在xoy面上投影曲线方程为\\ \begin{cases} H(x,y)=0 \\ z=0\end{cases} 消除z即可$

11.4 多元微分在几何应用

曲面的切平面与法线

$曲线F(x,y,z)=0，法向量：n=\{F_x,F_y,F_z\}$

$曲线z=f(x,y)，法向量：n=\{f_x,f)y,-1\}$

曲线的切线与法平面

$曲线\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{cases},切向量=\{x^\prime(t_0),y^\prime(t_0),z^\prime(t_0)\}$

$曲线\begin{cases}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{cases},切向量\vec {n_1}\cdot \vec{n_2}$

第十二章 多元积分学及其应用

12. 1 三重积分

定义

$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{k=1}^n f(\delta_k,\eta_k,\xi_k)\Delta v_k$

性质

计算

• 直角坐标

• 先一后二
• 先二后一

• 柱坐标
  被积函数$\phi(z)g(\sqrt{x^2+y^2})$
  被积域 为域

$\begin{cases}x=\rho cos\theta,0\le\rho<+\infty \\ y=\rho sin\theta ,0\le \theta\le 2\pi \\ z=z ,-\infty <z<+\infty\end{cases}$

• 球坐标
  被积区域为球
  被积函数为$f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$
• 奇偶性
• 对称性

12.2 曲线积分

对弧长的线积分(第一类线积分)

函数值乘以弧长

• 定义
  $\int_Lf(x,y)ds=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\eta_i,\xi_i)\Delta s$
• 性质
  和路径无关
• 计算方法

• 直接法

$\int_C f(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),t(t))\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt$

$\int_C f(x,y)ds=\int_a^b f(x,y(x))\sqrt{+y^{\prime2}(x)}dx$

$若C:\rho=\rho(\theta) ,\alpha\le\theta\le\beta \\ \int_C f(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(\rho(\theta)cos\theta,\rho(\theta)sin\theta)\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho^{\prime 2}(\theta)d\theta}$

• 利用奇偶性
• 利用对称性
• 空间曲线L的方程

$\int_L f(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime2 }(t),y^{\prime2}(t)+z^{\prime 2}(t)}dt$

对坐标的线积分(第二类线积分)

函数值乘以x上投影，y上的投影

• 定义

$\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n P(\varphi_i,\xi_i)\Delta x_i +Q(\varphi_i,\xi_i)\Delta y_i$

• 性质
  和方向有关
• 计算方法（平面）

• 直接法

$L=\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\end{cases},t\in[\alpha,\beta]，则$

$\int_L Pdx+Qdy=\int_\alpha^\beta [P(x(t),y(t))x^{\prime}(t),Q(x(t),y(t))y^{\prime}(t)]dt$

• 格林公式
  使用条件为封闭空间

$\int_L Pdx+Qdy=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$

• 利用线积分与路径无关

$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}区域单连通$

改变路径

• 计算方法(空间)

• 直接法
• 斯托克斯公式（空间曲线)

12.3 曲面积分

对面积的面积分(第一类面积分)

• 定义

$\iint_{\sum}f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(\eta_i,\xi_i,\varphi_i)\Delta S_i$

• 性质
• 计算方法

• 直接法

$\sum:z=z(x,y),(x,y)\in D$

$\iint_{\sum}f(x,y,z)dS=\iint_D f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}d\sigma$

• 利用奇偶性
• 利用对称性

对坐标的面积分(第二类面积分)

• 定义
• 性质
  有正负号有区分
• 计算方法

• 直接法

$z=z(x,y),(x,y)\in D$

KaTeX parse error: Got function '\sum' with no arguments as subscript at position 7: \iint_\̲s̲u̲m̲ ̲R(x,y,z)dxdy=\p…

• 高斯公式

$\oiint_{\sum_外}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$

• 补面用高斯公式

• 两类面积分的连续

12.4 多元积分应用

	平面板	空间体	曲线	曲面
质量
质心
转动惯量
几何度量

• 变力做功
• 通量

12.5 场论初步

方向导数

$若z=f(x,y)可微，则\\ \frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta$

梯度

梯度是一个向量，方向为最大的值
$gradu=\frac{\partial u}{\partial x} i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial z}k$

散度

是一个数
$设有向量场A(x,y,z)=\{P,Q,R\} \\ divA=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

旋度

$设有向量场A(x,y,z)=\{P,Q,R\} \\ rotA=\begin{vmatrix} i &j&k \\ \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix}$

错题集锦

高数部分

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$设有向量场A(x,y,z)=\{P,Q,R\} \\ rotA=\begin{vmatrix} i &j&k \\ \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix}$	$设有向量场A(x,y,z)=\{P,Q,R\} \\ rotA=\begin{vmatrix} i &j&k \\ \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix}$	A

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		C

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