多目标车辆路径优化遗传算法 python 多目标优化模型代码

目录

• NSGA-Ⅱ求解步骤回顾

• 遗传算法GA伪代码
• NSGA-Ⅱ整体伪代码
• NSGA-Ⅱ快速非支配排序伪代码
• NSGA-Ⅱ拥挤度距离计算伪代码
• NSGA-Ⅱ示意图

• NSGA-Ⅲ算法设计思路

• NSGA-Ⅲ整体伪代码
• 参考点生成方法

• NSGA-Ⅲ代码获取方式
• 参考文献
• 近期你可能错过了的好文章

今天为各位讲解多目标优化算法NSGA-Ⅲ，实际上我们分别在NSGA-II多目标优化算法讲解（附MATLAB代码）、多目标优化 | 基于NSGA-II的多目标0-1背包问题求解（附matlab代码）、多目标优化 | NSGA-II进阶教程（全网首个三目标优化教程）这几篇推文中对NSGA-Ⅱ做了详细讲解。

那今天讲解的NSGA-Ⅲ实际上和NSGA-Ⅱ只是在选择机制上有区别，其他步骤完全相同。因此，需要各位先回顾一下NSGA-Ⅱ的基本步骤。

在这里，还有一个基本问题需要各位注意一下，NSGA-Ⅱ是multi-objective优化，即多目标优化，而NSGA-Ⅲ的many-objective优化，即超多目标优化。其中，multi-objective（多目标）指的是2或3个优化目标，many-objective（超多目标）指的是至少4个优化目标。

因此，NSGA-Ⅲ的优势是求解超多目标优化问题，即4个及以上的多目标优化问题。

※注：由于NSGA-Ⅲ内容较多，所以将这部分内容讲解分成两篇推文讲解。

目录

1. NSGA-Ⅱ求解步骤回顾
2. NSGA-Ⅲ算法设计思路
3. NSGA-Ⅲ代码获取方式
4. 参考文献

NSGA-Ⅱ求解步骤回顾

遗传算法GA伪代码

无论是NSGA-Ⅱ，还是NSGA-Ⅲ，它们的基础都是遗传算法GA。GA的伪代码如下：

GA的基本思路为，种群初始化→进入主循环→选择操作→交叉操作→变异操作→种群更新操作→输出全局最优解。

NSGA-Ⅱ整体伪代码

在了解了GA的基本思路后，再来看一下NSGA-Ⅱ的基本思路：

NSGA-Ⅱ与GA的一大差异在于个体的选择机制。

GA是通过轮盘赌选择或锦标赛选择等选择方式，从父代种群（种群数目为$N$）中选择若干个个体组成子代种群，一般来说子代种群数目$N_1$小于父代种群数目$N$。

而NSGA-Ⅱ先将父代种群$P_{t}$（种群数目为$N$）与子代种群$Q_{t}$（种群数目为$N$）合并$R_{t}=P_{t}\cup Q_{t}$（种群数目为$2N$），其次对合并后的种群（种群数目为$2N$）进行快速非支配排序$\mathcal{F}=\text { fast-non-dominated-sort }\left(R_{t}\right)$，然后根据非支配排序结果以及拥挤度距离计算结果$\text { crowding-distance-assignment }\left(\mathcal{F}_{i}\right)$，从合并种群（种群数目为$2N$）中选择出$N$个个体。

NSGA-Ⅱ快速非支配排序伪代码

其中，快速非支配排序$\mathcal{F}=\text { fast-non-dominated-sort }\left(R_{t}\right)$的伪代码如下：

NSGA-Ⅱ拥挤度距离计算伪代码

拥挤度距离计算$\text { crowding-distance-assignment }\left(\mathcal{F}_{i}\right)$伪代码如下：

NSGA-Ⅱ示意图

NSGA-Ⅱ核心步骤示意图如下图所示：

NSGA-Ⅲ算法设计思路

在回顾完NSGA-Ⅱ之后，我们开始今天的主题——NSGA-Ⅲ。实际上，在文章的开篇我们已经提到过，NSGA-Ⅲ与NSGA-Ⅱ的唯一差别在于选择机制。再严格一点，可以说是摒弃拥挤度距离排序机制，而采用一种基于参考点排序的新机制。

NSGA-Ⅲ整体伪代码

我们先给出NSGA-Ⅲ伪代码：

细心的同学已经发现，NSGA-Ⅲ的伪代码实际上和NSGA-Ⅱ的伪代码基本一致，下面我们将这两个伪代码进行对比：

左侧NSGA-Ⅲ标红的地方和右侧NSGA-Ⅱ标红的地方就是两者的差异，即两者的选择机制不同。其它步骤则完全相同。

从选择机制的伪代码行数可以看出，NSGA-Ⅲ的选择机制更为复杂，接下来则重点剖析一下NSGA-Ⅲ的选择机制。

首先需要明确一个问题，如果在进行快速非支配排序后，前$l$层个体数目之和恰好为$N$，那就不需要后面基于参考点排序的操作了。

因此，后续基于参考点排序是建立在一个前提之上，即前$l-1$层个体数目之和小于$N$，前$l$层个体数目之和大于$N$。也就是说需要在第$l$层个体$F_{l}$中选择出$K=N-\left|P_{t+1}\right|$个个体。

参考点生成方法

既然，NSGA-Ⅲ采用一种基于参考点的排序机制，那么就有3个很直接的问题：

1. 这些参考点究竟是什么？
2. 采用这种基于参考点的排序机制优势在哪里？
3. 如何生成这些参考点？

首先回答第一个问题——这些参考点究竟是什么。

以一个三目标问题为例，这些参考点实际上等间距均匀分布在一个等边三角形平面上，其中这个等边三角形的三个顶点坐标分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，则这些参考点的示意图如下图所示，其中下图中的15个小黑点就是参考点：

接下来回答第二个问题——采用这种基于参考点的排序机制优势在哪里。
我们都希望多目标优化最终获得的帕列托解能够尽可能均匀分布，而不是这里一堆解，那里一堆解。

因为，均匀分布的帕列托解可以为用户提供多个平衡的解决方案，这些解都保留各自的优势。而分块密集的帕列托解很明显不利于用户做决策，很明显只有这几块的解是能够支撑用户决策的，而缺少其它位置的平衡解，显示不是我们多目标优化的初衷。

因此，为了使最终获得的帕列托解能够均匀分布，NSGA-Ⅲ采用基于参考点排序的方式，在解与参考点之间建立联系，因为构造的参考点是均匀分布的，所以我们希望最终生成的帕列托解也可以保持均匀分布的这一特性。

最后回到第三个问题——如何生成这些参考点。

我们先回到第一个问题的那张图，各位要注意一点，这些参考点是等间距分布的。

示意图中的参考点是4等分分布的，这些参考点的几何生成方法如下：

1. 先将3个顶点（即(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)）进行连线，形成等边三角形。
2. 在每条边上进行4等分操作，即每条边各有5个等分点，这些等分点为部分参考点。
3. 将与各边平行的各对等分点连线，连线产生的交点为另一部分参考点。
4. 上述交点全集即为生成的参考点。

上述参考点生成方式是以3目标为例，4目标及以上的参考点生成方法可以此类推。3目标4等分所生成的参考点示意图如下图所示。

各位可以发现，如果目标数目为$M$，等分数目为$p$，则生成的参考点数目$H=C_{M+p-1}^{p}$。

还是以上述3目标4等分为例，参考点的代数生成方法如下图所示：

4目标5等分的代数生成方法如下图所示：

参考点生成MATLAB代码如下：

function [W,N] = UniformPoint(N,M)
%UniformPoint - Generate a set of uniformly distributed points on the unit
%hyperplane
%
%   [W,N] = UniformPoint(N,M) returns approximate N uniformly distributed
%   points with M objectives.
%
%   Example:
%       [W,N] = UniformPoint(275,10)

%--------------------------------------------------------------------------
% Copyright (c) 2016-2017 BIMK Group. You are free to use the PlatEMO for
% research purposes. All publications which use this platform or any code
% in the platform should acknowledge the use of "PlatEMO" and reference "Ye
% Tian, Ran Cheng, Xingyi Zhang, and Yaochu Jin, PlatEMO: A MATLAB Platform
% for Evolutionary Multi-Objective Optimization [Educational Forum], IEEE
% Computational Intelligence Magazine, 2017, 12(4): 73-87".
%--------------------------------------------------------------------------

    H1 = 1;
    while nchoosek(H1+M,M-1) <= N
        H1 = H1 + 1;
    end
    W = nchoosek(1:H1+M-1,M-1) - repmat(0:M-2,nchoosek(H1+M-1,M-1),1) - 1;
    W = ([W,zeros(size(W,1),1)+H1]-[zeros(size(W,1),1),W])/H1;
    if H1 < M
        H2 = 0;
        while nchoosek(H1+M-1,M-1)+nchoosek(H2+M,M-1) <= N
            H2 = H2 + 1;
        end
        if H2 > 0
            W2 = nchoosek(1:H2+M-1,M-1) - repmat(0:M-2,nchoosek(H2+M-1,M-1),1) - 1;
            W2 = ([W2,zeros(size(W2,1),1)+H2]-[zeros(size(W2,1),1),W2])/H2;
            W  = [W;W2/2+1/(2*M)];
        end
    end
    W = max(W,1e-6);
    N = size(W,1);
end

NSGA-Ⅲ代码获取方式

https://yarpiz.com/456/ypea126-nsga3

参考文献

1. Katoch S, Chauhan S S, Kumar V. A review on genetic algorithm: past, present, and future[J]. Multimedia Tools and Applications, 2021, 80: 8091-8126.
2. Deb K, Pratap A, Agarwal S, et al. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II[J]. IEEE transactions on evolutionary computation, 2002, 6(2): 182-197.
3. Deb K, Jain H. An evolutionary many-objective optimization algorithm using reference-point-based nondominated sorting approach, part I: solving problems with box constraints[J]. IEEE transactions on evolutionary computation, 2013, 18(4): 577-601.
4. Tian Y, Cheng R, Zhang X, et al. PlatEMO: A MATLAB platform for evolutionary multi-objective optimization [educational forum][J]. IEEE Computational Intelligence Magazine, 2017, 12(4): 73-87.
5. Mostapha Kalami Heris, NSGA-III: Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, the Third Version — MATLAB Implementation (URL: https://yarpiz.com/456/ypea126-nsga3), Yarpiz, 2016.
6. Das I, Dennis J E. Normal-boundary intersection: A new method for generating the Pareto surface in nonlinear multicriteria optimization problems[J]. SIAM journal on optimization, 1998, 8(3): 631-657.