隐马尔科夫模型的R语言代码隐马尔科夫模型的组成

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数据挖掘者 2024-02-22 15:46:05

文章标签 隐马尔科夫模型的R语言代码概率分布状态转移马尔科夫链 文章分类 R语言后端开发

前言

本文介绍了什么是隐马尔科夫模型及其基本概念。

什么是隐马尔科夫

隐马尔科夫模型由初始概率分布、状态转移概率分布以及观测概率分布确定。隐马尔科夫模型λ可以用三元符号表示：

λ=(A,B,π)
其中 A,B,λ被称为隐马尔科夫模型的三要素。
此外，我们还有一些常见名词：
所有可能状态集合Q：
Q={q1,q2,...,qN}
所有可能观测集合V：
V={v1,v2,...,vN}
长度为T的状态序列I：
I=(i1,i2,...,iT)
与之对应的观测序列O：
O=(o1,o2,...,oT)
状态转移概率矩阵：
A=[aij]N∗N
其中
aij=P(it+1=qj|it=qi)
是在t时刻处于状态 qj的条件下在时刻t+1转移到状态 qj的概率。
观测概率矩阵B：
B=[bj(k)]N∗M
其中
bj(k)=P(ot=vk|it=qk)
是在t时刻处于状态 qj的条件下生成观测 vk的概率。

模型举例

假设有4个盒子，编号为A、B、C、D。每个盒子里面都装有红白两种颜色的球。

盒子	A	B	C	D
红球数	5	3	6	8
白球数	5	7	4	2

按照一定的方法抽球：从4个盒子里面以等概论随机选取一个盒子，从这个盒子里面随机抽取1个求，记录颜色后放回。然后再重新选取盒子，进行下一轮的抽取。每轮抽取的规则如下：
如果当前选取A盒子，那么下次必须选取B盒子；
如果当前选取B盒子，那么下次有0.4概率选取A盒子，0.6 概率选取C盒子；
如果当前选取C盒子，那么下次有0.4概率选取B盒子，0.6概率选取D盒子；
如果当前是D盒子，那么下次有0.5概率选取D盒子，0.5概率选取C盒子。

某次实验中，我们按照某种次序，依次从五个盒子里共抽取了，得到球的颜色顺序如下：{红，红，白，白，红}
（设计如此“复杂”的规则是为了后面清晰地表明矩阵的含义）

模型与例子的变量对应说明

“盒子”对应状态。本实验中，状态集合为:

Q={盒子A,盒子B,盒子C,盒子D}

“按照某种次序，依次从五个盒子里共抽取”明显地，我们不知道是按照哪种盒子次序抽取的，抽取盒子的序列是不可观测的，是

状态序列：

I=(盒子X，盒子X，盒子X，盒子X，盒子X)

“球的颜色”对应观测。本实验中，

观测集合是：

V={红，白}

“抽取了五次，得到球的颜色顺序如下：{红，红，白，白，红}”对应

状态观测序列：

O=(红，红，白，白，红)

”开始，从四个盒子

等概率选取一个盒子”对应

初始概率分布：

π=(0.25,0.25,0.25,0.25)T

“如果当前选取XX盒子，那么下一个选取XX盒子”对应

状态转移概率：

A=⎡⎣⎢⎢⎢00.400100.4000.600.5000.60.5⎤⎦⎥⎥⎥

Aij代表，从i盒子转移到j盒子，概率有多大

“每个盒子里各自的红白球数”对应

观测概率分布：

B=⎡⎣⎢⎢⎢0.50.30.60.80.50.70.40.2⎤⎦⎥⎥⎥

Bij代表，第i盒子第j种球抽到的概率有多大

两个基本假设

齐次马尔科夫性假设：假设隐藏的马尔科夫链在任意t时刻的状态只依赖于前一时刻的状态，与其他时刻的状态及观测无关。本实验中，抽取下个盒子X的概率只跟抽取前一个盒子X有关，与其他时刻抽取盒子和抽取的球颜色没有关系。
观测独立性假设：假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔科夫链的状态，与其他观测及状态无关。在本实验中，抽取红球和白球的概率只与当前抽取的盒子有关，与其他抽取球的颜色和抽取的盒子无关。