二叉树（树的入门）
之前实现的符号表中，不难看出，符号表的增删查操作，随着元素个数N的增多，其耗时也是线性增多的，时间复杂度都是O(n),为了提高运算效率。
1.1树的基本定义
树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家谱、单位的组织架构、等等。
树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
树具有以下特点：
1.每个结点有零个或多个子结点；
2.没有父结点的结点为根结点；
3.每一个非根结点只有一个父结点；
4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；
1.2 树的相关术语
结点的度：（结点子树个数）
一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；
叶结点：度为0的结点
度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点
分支结点：度不为0的结点
度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点
结点的层次：
从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推
结点的层序编号：
将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。
树的度：
树中所有结点的度的最大值
树的高度(深度)：
树中结点的最大层次
森林：
m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。
孩子结点：
一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点
双亲结点(父结点)：
一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
兄弟结点：
同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点
1.3 二叉树的基本定义
二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)
满二叉树：
一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值（达到二），则这个二叉树就是满二叉树。
完全二叉树：
叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
（满二叉树一定是一个完全二叉树）
1.4 二叉查找树的创建
1.4.1二叉树的结点类
根据对图的观察，发现二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的，按照面向对象的思想，设计一个结点类来描述结点这个事物。
结点类API设计：
下面展示一些 结点类API设计。
package BinaryTree;
/**
* @author Fantic
* @create 2021-08-15 20:22
*/
public class Node<Key,Value> {
//记录左子结点
public Node left;
//记录右子结点
public Node right;
//存储键
public Key key;
//存储值
public Value value;
public Node(Node left, Node right, Key key, Value value) {
this.left = left;
this.right = right;
this.key = key;
this.value = value;
}
}1.4.2 二叉查找树API设计
1.4.3 二叉查找树实现
插入方法put实现思想：
1.如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
2.如果当前树不为空，则从根结点开始：
- 2.1如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
- 2.2如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
- 2.3如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。
查询方法get实现思想：
从根节点开始：
1.如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2.如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
3.如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。
删除方法delete实现思想：
1.找到被删除结点；
2.找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
3.删除右子树中的最小结点
4.让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
5.让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
1.4.4 二叉查找树其他便捷方法
1.4.4.1 查找二叉树中最小的键
在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最小值，比如我们的树中存储的是学生的排名和姓名数据，那么需要查找出排名最低是多少名？这里我们设计如下两个方法来完成：
1.4.4.2 查找二叉树中最大的键
在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最大值，比如比如我们的树中存储的是学生的成绩和学生的姓名，那么需要查找出最高的分数是多少？这里我们同样设计两个方法来完成：
1.5 二叉树的基础遍历
很多情况下，我们可能需要像遍历数组数组一样，遍历树，从而拿出树中存储的每一个元素，由于树状结构和线性结构不一样，它没有办法从头开始依次向后遍历，所以存在如何遍历，也就是按照什么样的搜索路径进行遍历的问题。
我们把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访问，我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：
1.前序遍历；
先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
2.中序遍历；
先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
3.后序遍历；
先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点
如果我们分别对下面的树使用三种遍历方式进行遍历，得到的结果如下：
1.5.1 前序遍历
我们在之前创建的树上，添加前序遍历的API：
public Queue preErgodic()：使用前序遍历，获取整个树中的所有键
private void preErgodic(Node x,Queue keys)：使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
实现过程中，我们通过前序遍历，把,把每个结点的键取出，放入到队列中返回即可。
实现步骤：
1.把当前结点的key放入到队列中;
2.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
1.5.2 中序遍历
我们在之前创建的树上，添加前序遍历的API：
public Queue midErgodic()：使用中序遍历，获取整个树中的所有键
private void midErgodic(Node x,Queue keys)：使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
实现步骤：
1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
2.把当前结点的key放入到队列中;
3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
1.5.3 后序遍历
我们在之前创建的树上，添加前序遍历的API：
public Queue afterErgodic()：使用后序遍历，获取整个树中的所有键
private void afterErgodic(Node x,Queue keys)：使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
实现步骤：
1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
2.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
3.把当前结点的key放入到队列中;
1.6 二叉树的层序遍历
所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：
那么层序遍历的结果是：EBGADFHC
我们在之前创建的树上，添加层序遍历的API：
public Queue layerErgodic()：使用层序遍历，获取整个树中的所有键
实现步骤：
1.创建队列，存储每一层的结点；
2.使用循环从队列中弹出一个结点：
- 2.1获取当前结点的key；
- 2.2如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
- 2.3如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中
1.7 二叉树的最大深度问题
需求：
给定一棵树，请计算树的最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）;
上面这棵树的最大深度为4。
实现：
我们之前创建的树上，添加如下的API求最大深度：
public int maxDepth()：计算整个树的最大深度
private int maxDepth(Node x):计算指定树x的最大深度
实现步骤：
1.如果根结点为空，则最大深度为0；
2.计算左子树的最大深度；
3.计算右子树的最大深度；
4.当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
下面展示一些 以上二叉树功能代码实现。
package BinaryTree;
import LinkTable.Queue;
/**
* @author Fantic
* @create 2021-08-15 20:21
*/
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>,Value> {
public static void main(String[] args) {
// //创建二叉查找树对象
// BinaryTree<Integer,String> tree = new BinaryTree<Integer, String>();
//
// //测试插入
// tree.put(1,"张三"); tree.put(2,"李四");
// tree.put(3,"王五");
// System.out.println("插入完毕后元素的个数："+tree.size());
//
// //测试获取
// System.out.println("键2对应的元素是："+tree.get(2));
//
// //测试删除
//
// tree.delete(3);
// System.out.println("删除后的元素个数："+tree.size());
// System.out.println("删除后键3对应的元素:"+tree.get(3));
//创建树对象
BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<String, String>();
//往树中添加数据
tree.put("E", "5");
tree.put("B", "2");
tree.put("G", "7");
tree.put("A", "1");
tree.put("D", "4");
tree.put("F", "6");
tree.put("H", "8");
tree.put("C", "3");
//前序遍历(重点)
Queue<String> keys = tree.preErgodic();
for (String key : keys) {
String value = tree.get(key);
System.out.print(key+"----"+value + " ");//E----5 B----2 A----1 D----4 C----3 G----7 F----6 H----8
}
//中序遍历
Queue<String> keys1 = tree.midErgodic();
System.out.println();
for (String key : keys1) {
String value = tree.get(key);
System.out.print(key+"----"+value + " ");//A----1 B----2 C----3 D----4 E----5 F----6 G----7 H----8
}
//后序遍历
Queue<String> keys2 = tree.afterErgodic();//A----1 C----3 D----4 B----2 F----6 H----8 G----7 E----5
System.out.println();
for (String key : keys2) {
String value = tree.get(key);
System.out.print(key+"----"+value + " ");
}
//层序遍历
Queue<String> keys3 = tree.layerErgodic();//E----5 B----2 G----7 A----1 D----4 F----6 H----8 C----3
System.out.println();
for (String key : keys3) {
String value = tree.get(key);
System.out.print(key+"----"+value + " ");
}
//测试最大深度
System.out.println();
int depth = tree.maxDepth();
System.out.println("此树的最大深度是：" + depth);
}
//记录根节点
private Node root;
//记录数中的元素个数
private int Num;
//获取树中的元素个数
public int size(){
return Num;
}
//以下使用的均是递归的方法,利用代码将规律展现出来，再使用递归调用即可
//向树中插入一个键值对
/*
插入方法put实现思想：
1.如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
2.如果当前树不为空，则从根结点开始：
2.1如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2.2如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
2.3如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可.
*/
public void put(Key key,Value value){
root = put(root, key, value);
}
//给指定树x上,添加一个键值对,并返回添加后的新树
private Node put(Node x,Key key,Value value){
//如果x树为空
if (x == null) {
Num++;
return new Node(key,value,null,null);
}
//如果x树不为空
//比较key键的大小
int cmp = key.compareTo((Key) x.key);
if (cmp > 0) {
//如果key的值大于x结点的值,则继续找x结点的右子树
x.right = put(x.right,key,value);
}else if (cmp < 0) {
//如果key的值小于x结点的值,则继续找x结点的左子树
x.left = put(x.left, key, value);
}else{
//如果key的值等于x结点的值，则替换key结点的对应值
x.value = value;
}
//返回树x直到找对key键，将value与其替换
return x;
}
/*
查询方法get实现思想：
从根节点开始：
1.如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2.如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
3.如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。
*/
//根据key,从树中找出对应的值
public Value get(Key key) {
return get(root, key);
}
//从指定的树x中,找出key对应的值
private Value get(Node x,Key key){
//如果x树为空
if (x == null) {
return null;
}
//如果x树不为空
//比较key键的大小
int cmp = key.compareTo((Key) x.key);
if (cmp > 0) {
//如果key的值大于x结点的值,则继续找x结点的右子树
return get(x.right, key);
}else if (cmp < 0) {
//如果key的值小于x结点的值,则继续找x结点的左子树
return get(x.left, key);
}else{
//如果key的值等于x结点的值，则替换key结点的对应值
return (Value) x.value;
}
}
/*
删除方法delete实现思想：
1.找到被删除结点；
2.找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
3.删除右子树中的最小结点
4.让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
5.让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
*/
//根据key,删除树中对应的键值对
public void delete(Key key) {
delete(root, key);
}
//删除指定树x上的键为key的键值对,并返回删除后的新树
private Node delete(Node x,Key key){
//如果x树为空
if (x == null) {
return null;
}
//如果x树不为空
//比较key键的大小
int cmp = key.compareTo((Key) x.key);
if (cmp > 0) {
//如果key的值大于x结点的值,则继续找x结点的右子树
x.right = delete(x.right, key);
}else if (cmp < 0) {
//如果key的值小于x结点的值,则继续找x结点的左子树
x.left = delete(x.left, key);
}else{
//如果key的值等于x结点的值，此时就要删除此时的x结点
//元素减1
Num--;
//得找到被删节点的右子树的最小结点（或者找被删结点的左子树最大节点）尽量找右子树下方的左子树叶结点
//1.如果当前结点的右子树不存在就找左子结点
if (x.right == null){
return x.left;
}
//2.如果当前结点的左子树不存在就找右子结点
if (x.left == null){
return x.right;
}
//当前结点x的左右结点都存在
//找到右子树的最小的结点
Node minNode = x.right;
while (minNode.left != null) {
minNode = minNode.left;
}
//删除右子树中的最小结点
Node n = x.right;
while (n.left != null) {
if (n.left.left == null){
//删除minNode在原树中的位置
n.left = null;
}else {
//继续寻找左子结点
n = n.left;
}
}
//让x的结点的左子树成为minNode的左子树，让被删除结点的右子树成为minNode的右子树
minNode.left = x.left;
minNode.right = x.right;
//然被删除的x结点的父结点.指向minNode结点
x = minNode;
//元素个数减1
Num--;
}
//返回树x直到找对key键，将value与其替换
return x;
}
//找出树中最小的键
public Key min(){
return (Key) min(root).key;
}
//找出树x中最小的键所在结点
private Node min(Node x){
//需要判断x还有没有左子结点.如果有一直向左子节点找
if(x.left != null){
return min(x.left);
}else {
return x;
}
}
//找出树中最大的键
public Key max(){
return (Key) max(root).key;
}
//找出树x中最大的键所在结点
private Node max(Node x){
//需要判断x还有没有右子结点.如果有一直向右子节点找
if (x.right != null) {
return max(x.right);
}else{
return x;
}
}
//树的遍历利用了队列的思想,先进先出
//前序遍历,先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
/*
**实现步骤：**
1.把当前结点的key放入到队列中;
2.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
*/
public Queue<Key> preErgodic(){
Queue<Key> keys = new Queue<>();
preErgodic(root,keys);
return keys;
}
private void preErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
//如果树中没有结点的话
if (x == null){
return;
}
//把当前结点的x的键放入到keys中
keys.enqueue((Key) x.key);
//树x中有结点,递归调用对应左子树键
if (x.left != null){
preErgodic(x.left,keys);
}
//继续使用递归，将树x的右子树结点调用
if (x.right != null){
preErgodic(x.right,keys);
}
}
//中序遍历,先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
/*
**实现步骤：**
1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
2.把当前结点的key放入到队列中;
3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
*/
public Queue<Key> midErgodic(){
Queue<Key> keys = new Queue<>();
midErgodic(root,keys);
return keys;
}
private void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
//判断树x是否为空
if (x == null){
return;
}
//先递归调用当前树x的左子树结点,如果为空,则停止
if(x.left != null){
midErgodic(x.left,keys);
}
//把当前结点x的键放到keys中
keys.enqueue((Key) x.key);
//再递归调用当前树x的右子树结点,如果为空,则停止
if (x.right != null) {
midErgodic(x.right,keys);
}
}
//后序遍历,先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点
/*
1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
2.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
3.把当前结点的key放入到队列中;
*/
public Queue<Key> afterErgodic(){
Queue<Key> keys = new Queue<>();
afterErgodic(root, keys);
return keys;
}
private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
if (x == null) {
return;
}
//找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
if (x.left != null){
afterErgodic(x.left, keys);
}
//找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
if (x.right != null){
afterErgodic(x.right, keys);
}
//把当前结点的key放入到队列中;
keys.enqueue((Key) x.key);
}
//层序遍历,从根节点依次向下,从左到右获取每一层所有节点的值
/*
1.创建队列，存储每一层的结点；
2.使用循环从队列中弹出一个结点：
* 2.1获取当前结点的key；
* 2.2如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
* 2.3如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中
*/
public Queue<Key> layerErgodic(){
//需要定义两个队列
Queue<Key> keys = new Queue<>();//放置所有键
Queue<Node> nodes = new Queue<>();//放置结点
//默认在队列Nodes中放入根结点
nodes.enqueue(root);
while (!nodes.isEmpty()) {
//从队列nodes中弹出一个结点,将该结点的键放到Keys中
Node n = nodes.dequeue();
keys.enqueue((Key) n.key);
//判断当前结点还有没有左子结点，如果有则放到nodes中
if (n.left != null) {
nodes.enqueue(n.left);
}
//判断当前结点还有没有右子结点，如果有则放到nodes中
if (n.right != null) {
nodes.enqueue(n.right);
}
}
return keys;
}
//计算整个树的最大深度
/*
实现步骤：
1.如果根结点为空，则最大深度为0；
2.计算左子树的最大深度；
3.计算右子树的最大深度；
4.当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
*/
public int maxDepth() {
return maxDepth(root);
}
//计算指定树x的最大深度
private int maxDepth(Node x){
if (x == null){
return 0;
}
//x的最大深度
int max = 0;
//左子树的最大深度
int maxL = 0;
//右子树的最大深度
int maxR = 0;
if (x.left != null){
maxL = maxDepth(x.left);
}
if (x.right != null){
maxR = maxDepth(x.right);
}
//比较左子树最大深度和右子树最大深度，取较大值+1
max = maxL > maxR ? maxL + 1:maxR + 1;
return max;
}
}1.8 折纸问题
需求：
请把一段纸条竖着放在桌子上，然后从纸条的下边向上方对折1次，压出折痕后展开。此时 折痕是凹下去的，即折痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次，压出折痕后展开，此时有三条折痕，从上到下依次是下折痕、下折痕和上折痕。
给定一 个输入参数N，代表纸条都从下边向上方连续对折N次，请从上到下打印所有折痕的方向 例如：N=1时，打印： down；N=2时，打印： down down up
分析：
我们把对折后的纸张翻过来，让粉色朝下，这时把第一次对折产生的折痕看做是根结点，那第二次对折产生的下折痕就是该结点的左子结点，而第二次对折产生的上折痕就是该结点的右子结点，这样我们就可以使用树型数据结构来描述对折后产生的折痕。这棵树有这样的特点：
1.根结点为下折痕；
2.每一个结点的左子结点为下折痕；
3.每一个结点的右子结点为上折痕；
实现步骤：
1.定义结点类
2.构建深度为N的折痕树；
3.使用中序遍历，打印出树中所有结点的内容；
构建深度为N的折痕树：
1.第一次对折，只有一条折痕，创建根结点；
2.如果不是第一次对折，则使用队列保存根结点；
3.循环遍历队列：
- 3.1从队列中拿出一个结点；
- 3.2如果这个结点的左子结点不为空，则把这个左子结点添加到队列中；
- 3.3如果这个结点的右子结点不为空，则把这个右子结点添加到队列中；
- 3.4判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空，如果是，则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点，一个值为up的右子结点。
下面展示一些 折纸问题的代码实现。
package BinaryTree;
import LinkTable.Queue;
/**
* @author Fantic
* @create 2021-08-16 14:40
*/
/*
实现步骤：
1.定义结点类
2.构建深度为N的折痕树；
3.使用中序遍历，打印出树中所有结点的内容；
*/
public class PaperFloding {
public static void main(String[] args) {
//由于都是静态方法,不需要new PaperFloding
Node<String> tree = createTree(3);
printTree(tree);//down down up down down up up
}
//定义一个内部类,用于创建结点
private static class Node<T>{
public T item;//存储结点内容
public Node left;
public Node right;
public Node(T item, Node left, Node right) {
this.item = item;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
//模拟创建折纸机制,以此产生的树,Num为折纸次数
public static Node<String> createTree(int Num){
//定义根的结点
Node<String> root = null;
for (int i = 0; i < Num; i++) {
//当第一次折纸时
if (i == 0) {
root = new Node<>("down", null, null);
continue;
}
//当不是第一次折纸时
//定义一个辅助队列,通过层序遍历的思想,找到叶子结点,叶子结点添加子节点
Queue<Node> queue = new Queue<>();
queue.enqueue(root);
//循环遍历队列
while (!queue.isEmpty()){
//从队列中弹出一个结点
Node<String> node = queue.dequeue();
//如果该结点有左节点,放到队列中
if (node.left != null) {
queue.enqueue(node.left);
}
//如果该结点有右结点,放到队列中
if (node.right != null) {
queue.enqueue(node.right);
}
//由于折纸问题是一个满二叉树，左子结点和右子结点一定同时存在
if (node.left == null && node.right == null){
node.left = new Node("down", null, null);
node.right = new Node("up", null, null);
}
}
}
return root;
}
//实现对树中每个节点的输出
public static void printTree(Node<String> root) {
//使用中序遍历
if (root == null) {
return;
}
//打印左子树结点
if (root.left != null) {
printTree(root.left);
}
//打印当前结点
System.out.print(root.item + " ");
//打印右子树结点
if (root.right != null){
printTree(root.right);
}
}
}
