反向传播的数学推导公式 反向传播推倒

目录

• 1.前向传播
• 2.反向传播

• 推导BP算法
• (1) 输出层的梯度
• (2) 隐藏层的梯度

• 3.总结

1.前向传播

前向传播算法：将上一层的输出作为下一层的输入，并计算下一层的输出，一直到运算到输出层为止。

对于Layer 2的输出 a₁⁽²⁾,a₂⁽²⁾,a₃⁽²⁾

对于Layer 3的输出 a₁⁽³⁾，a₂⁽³⁾

从上面可以看出，使用代数法一个个的表示输出比较复杂，而如果使用矩阵法则比较的简洁。将上面的例子一般化，并写成矩阵乘法的形式.

2.反向传播

反向传播算法，简称BP算法，适合于多层神经元网络的一种学习算法，它建立在梯度下降法的基础上。它的信息处理能力来源于简单非线性函数的多次复合，因此具有很强的函数复现能力，这是BP算法得以应用的基础。反向传播是一种与最优化方法（如梯度下降法）结合使用的，用来训练人工神经网络的常见方法。该方法对网络中所有权重计算损失函数的梯度。这个梯度会反馈给最优化方法，用来更新权值以最小化损失函数。

推导BP算法

选择一个损失函数，计算训练样本的输出和真实的输出之间的损失。我们使用最常见的均方误差（MSE）来作为损失函数。如下图

其中 a^(l)为样本的输出，y为真实值。加入系数1/2 是为了与求导后的2抵消。

(1) 输出层的梯度

我们发现有公共的部分，记为

(2) 隐藏层的梯度

因为上面已经求出了输出层的误差，根据误差反向传播的原理，当前层的误差可理解为上一层所有神经元误差的复合函数，即使用上一层的误差来表示当前层误差，并依次递推。

Z^(l+1)和Z^(l)的关系, 如下图

可以得出

由此得到了递推关系式，求解W^(l)，b^(l)的对应梯度

3.总结

1. 初始化参数W，b
3. 进行前向传播算法计算



4. 通过损失函数计算输出层的梯度
6. 进行反向传播算法计算



8. 更新W，b



9. 如果所有W，b的变化值都小于停止迭代阈值ϵ，则跳出迭代循环
10. 输出各隐藏层与输出层的线性关系系数矩阵W和偏置b。

对于W_ij³ , b_j³

对于W_ki² , b_i²