交叉熵损失函数python 交叉熵损失函数是什么

🌈交叉熵损失函数原理详解

• ❤️ 信息论

• 1️⃣ 信息量
• 2️⃣ 熵
• 3️⃣ 相对熵（KL散度）
• 4️⃣ 交叉熵

• Ⓜ️机器学习中交叉熵的应用

• 1️⃣ 为什么要用交叉熵做loss函数？
• 2️⃣ 交叉熵在单分类问题中的使用
• 3️⃣ 交叉熵在多分类问题中的使用

• ㊗️总结

⚡最近面临找工作，被面试官问得体无完肤。踏入机器学习领域时间较短，此类基本的问题虽然在实际工作和代码开发中不曾深入，但是对于应对面试和后续的一些复杂模型的学习是必不可少的。

⚡尤其是在代码中经常看见交叉熵损失函数(CrossEntropy Loss)，只知道它是分类问题中经常使用的一种损失函数，对于其内部的原理总是很呆萌，而且一般使用交叉熵作为损失函数时，输出层会接一个softmax函数或者sigmoid，其中的原因实际并不复杂，但便于日后回忆，以此文进行总结，以便自己和小伙伴们以后翻阅。

❤️ 信息论

先不急，因为交叉熵是信息论中的一个概念，要想了解交叉熵的本质，需要先从最基本的概念讲起（很容易理解）。

1️⃣ 信息量

首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：
事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。

假设X是一个离散型随机变量，其取值集合为$\chi$,概率分布函数 $p(x) =Pr(X=x),x\in\chi$,则定义事件$X=x_0$的信息量为：

$I(x_0)=-log(p(x_0))$

由于是概率所以$p(x_0)$的取值范围是 $[0,1]$,绘制为图形如下：

可见该函数符合我们对信息量的直觉，概率越小，信息量越大。

2️⃣ 熵

考虑另一个问题，对于某个事件，有$n$种可能性，每一种可能性都有一个概率$p(x_i)$。这样就可以计算出某一种可能性的信息量。
Eg：假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量：

序号	事件	概率p	信息量
A	电脑正常开机	0.7	$-log(p(A))=0.36$
B	电脑无法开机	0.2	$-log(p(A))=1.61$
C	电脑爆炸了	0.1	$-log(p(A))=2.30$

注：文中的对数均为自然对数$ln()$

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：
$H(X)=-\sum_{i=1}^np(x_i)log(p(x_i))$
其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是
$H(X)=-[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C)log(p(C))]\\ =0.7*0.36+0.2*1.61+0.1*2.30\\ =0.804$
然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：
$H(X)=-\sum_{i=1}^np(x_i)log(p(x_i))\\=-p(x)log(p(x))-(1-p(x))log(1-p(x))$

3️⃣ 相对熵（KL散度）

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量x有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异
即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1] 直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

KL散度的计算公式：
$D_{KL}(p||q)=\sum_{i=1}^np(x_i)log\left(\frac{p(x_i)}{q(x_i)}\right)\quad(3.1)$
$n$为事件的所有可能性。
$D_{KL}$的值越小，表示$q$分布和$p$分布越接近

4️⃣ 交叉熵

对式3.1变形可以得到：
$D_{KL}(p||q)=\sum_{i=1}^np(x_i)log(p(x_i))-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))\\=-H(p(x))+[-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))]$
等式的前一部分恰巧就是$p$的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：
$H(p,q)=-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))$
在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即$D_{KL}(y||\hat{y})$，由于KL散度中的前一部分$−H(y)$不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。

Ⓜ️机器学习中交叉熵的应用

1️⃣ 为什么要用交叉熵做loss函数？

在线性回归问题中，常常使用MSE (Mean Squared Error)作为loss函数，比如：
$loss=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y_i})^2$
这里的m表示m个样本的，loss为m个样本的loss均值。
MSE在线性回归问题中比较好用，那么在逻辑分类问题中还是如此么？

2️⃣ 交叉熵在单分类问题中的使用

这里的单类别是指，每一张图像样本只能有一个类别，比如只能是狗或只能是猫。

交叉熵在单分类问题上基本是标配的方法

$loss=-\sum_{i=1}^ny_ilog(\hat{y_i)}\quad(2.1)$

上式为一张样本的loss计算方法。式2.1中n代表着n种类别。

举例说明,比如有如下样本

对应的标签和预测值

*	猫	青蛙	狗
Label	0	1	0
Prediction	0.3	0.6	0.1

那么
$loss=-(0*log(0.3)+1*log(0.6)+0*log(0.1)=-log(0.6)$
对应一个batch的loss就是:
$loss = -\frac{1}{m}\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^ny_{ij}log(\hat{y_{ij}})$
m为当前batch的样本数

3️⃣ 交叉熵在多分类问题中的使用

这里的多类别是指，每一张图像样本可以有多个类别，比如同时包含一只猫和一只狗

和单分类问题的标签不同，多分类的标签是n-hot。

比如下面这张样本图，即有猫，又有狗，所以是一个多分类问题

对应的标签和预测值

*	青蛙	猫	狗
Label	0	1	1
Prediction	0.1	0.7	0.8

值得注意的是，这里的Prediction不再是通过softmax计算的了，这里采用的是sigmoid。将每一个节点的输出归一化到[0,1]之间。所有Prediction值的和也不再为1。换句话说，就是每一个Label都是独立分布的，相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算，每一个节点只有两种可能值，所以是一个二项分布。前面说过对于二项分布这种特殊的分布，熵的计算可以进行简化。

同样的，交叉熵的计算也可以简化，即
$loss = -ylog(\hat{y})-(1-y)log(1-\hat{y})$
注意，上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类loss区分开来。
例子中可以计算为：
$loss_{蛙} = -0*log(0.1)-(1-0)log(1-0.1)=-log(0.9)\\ loss_{猫} = -1*log(0.7)-(1-1)log(1-0.7)=-log(0.7)\\ loss_{狗} = -1*log(0.8)-(1-1)log(1-0.8)=-log(0.8)$
单张样本的loss即为$loss=loss_蛙+loss_猫+loss_狗$
每一个batch的loss就是：
$loss = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n-y_{ij}log(\hat{y_{ij}})-(1-y_{ij})log(1-\hat{y_{ij}})$
式中m为当前batch中的样本量，n为类别数。

㊗️总结

我只是知识的搬运工，希望对你们多少有点用❤️