成对数据检验的python实现

设有$n$个相互独立的观测结果$(X_1,Y_1)$，$(X_2,Y_2)$，$\cdots$，$(X_n,Y_n)$，诸对$X_i$和$Y_i$受同一因素影响，$D_i=X_i-Y_i$~$N(\mu,\sigma^2),i=1,2,\cdots,n$。其中$\mu$和$\sigma^2$均未知。在指定显著水平$\alpha$下，检验假设

$H_0:\mu=\mu_0(H_1:\mu\not=\mu_0)\text{或}\\H_0:\mu\leq\mu_0(H_1:\mu>\mu_0)\text{或} \\H_0:\mu\geq\mu_0(H_1:\mu<\mu_0).$

的问题，称为基于成对数据的检验问题。由于$D_i$~$N(\mu,\sigma^2),i=1,2,\cdots,n$，且$\sigma^2$未知，故可用$t$检验法解决基于成对数据的检验问题。

由于$D_i=X_i-Y_i$~$N(\mu,\sigma^2)$，$i=1,2,\cdots,n$，其中$\sigma^2$未知。在显著水平$\alpha=0.05$下，为检验假设$H_0:\mu=\mu_0$（或$H_0:\mu\leq\mu_0$或$H_0:\mu\geq\mu_0$），scipy.stats包提供了函数

$\text{ttest\_1samp(a, popmean, alternative=$

其参数a表示序列$\{d_1=x_1-y_1,d_2=x_2-y_2,\cdots,d_n=x_n-y_n\}$，popmean表示$\mu$的假设值$\mu_0$，alternative为三个选项之一’two-sided’，‘greater’或’less’，分别表示双侧假设、右侧假设及左侧假设，缺省值为表示双侧假设的’two-sided’。该函数的返回值包括两个数据：表示检验统计量值$\frac{\overline{d}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$的statistic和表示检验p值的pvalue。

例1将双胞胎分开来抚养，一个由父母亲自带大，另一个不是由父母亲自带大。现取14对双胞胎测试他们的智商，智商测试得分如下：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
父母带大$X_i$	23	31	25	18	19	25	28	18	25	28	22	14	34	36
非父母带大$Y_i$	22	31	29	24	28	31	27	15	23	27	26	19	30	28

希望比较两种不同的成长环境是否对孩子的智商有不同的影响。
解： 首先，注意到表中数据是成对出现的，14对双胞胎的智商$(X_i,Y_i),i=1,2,\cdots,14$，任何两对双胞胎的成长过程互不影响，故可以认为是相互独立的。同一家庭的双胞胎孩子的智商$X_i$和$Y_i$应当由某种联系。为考察一对双胞胎的不同成长环境对智商的影响，考虑两者的差$D_i=X_i-Y_i,i=1,2,\cdots,14$。由于诸$D_i$均受同样因素（孩子的成长环境）影响，故可认为具有相同的分布。假定$D_i$~$N(\mu,\sigma^2),i=1,2,\cdots,14$（由诸$(X_i,Y_i)$的相互独立性，知诸$D_i$也是相互独立的），本例即是需要在一定的显著水平$\alpha$下检验假设
$H_0:\mu=0(H_1:\mu\not=0).$
下列代码完成例7-26中对双侧假设$H_0$在显著水平$\alpha=0.05$下的检验计算。

import numpy as np                      #导入numpy
from scipy.stats import ttest_1samp     #导入ttest_1samp
x=np.array([23, 31, 25, 18, 19, 25, 28, #设置样本数据
            18, 25, 28, 22, 14, 34, 36])
y=np.array([22, 31, 29, 24, 28, 31, 27,
            15, 23, 27, 26, 19, 30, 28])
alpha=0.05                              #显著水平
d=x-y                                   #计算di=xi-yi
_,pvalue=ttest_1samp(d, 0)              #计算检验p值
print('mu=0 is %s.'%(pvalue>=alpha))

程序的第3~7行按题面设置各项数据。第8行计算序列$d=\{d_1=x_1-y_1,d_2=x_2-y_2,\cdots,d_n=x_n-y_n\}$，记为d。第9行调用函数ttest_1samp计算检验假设$H_0$的p值（由于此处不需要检验统计量值，故用下划线’_'将返回值中的statistic屏蔽掉），第10行计算检验并输出。

mu=0 is True.

表示接受假设$H_0:\mu=0$，即生长环境对孩子的智商没有显著影响。
写博不易，敬请支持：
如果阅读本文于您有所获，敬请点赞、评论、收藏，谢谢大家的支持！
代码诚可贵，原理价更高。若为AI学，读正版书好。
返回《导引》