堆：大根堆与小根堆
堆排序是建立在堆基础上的排序方法，首先了解一下什么是堆。
常用的堆一般有两种，大根堆和小根堆。堆可以看做是一棵二叉树，其父节点的值总是大于（大根堆）或者小于（小根堆）子节点的值。举一个例子：
图1 不满足堆的条件 图2大根堆 图3 小根堆
图1不是堆，因为不满足父节点的值大于或者小于子节点的值；
图2是大根堆，根节点是最大值，父节点都大于或等于子节点的值；
图3是小根堆，根节点是最小值，父节点都小于或等于子节点的值。
堆排序
下面以大根堆为例讲解堆排序：
大根堆有一个很好的性质，根节点的数值总是大于其他所有节点的数值，利用这个性质，可以实现排序的工作。堆排序的步骤可以描述如下：
1.构建大根堆。首先我们的原始数组一般情况下是不满足堆的条件，既然我们要可用大根段的性质进行排序，第一步当然是对原始数组进行处理，构建大根堆。
2.根节点数据处理以及大根堆重构。构建了大根堆之后，根节点的数据是最大值，将该数值取出，对剩下的元素重构大根堆，这时根节点是剩下元素的最大值，取出。只要不断重复上述的操作，不断取出未排序元素的最大值，直到未排序的元素只剩一个，就完成了排序工作。
说得有点抽象，直接用一个实际的例子说明堆排序的工作步骤：
对一个无序的序列A={5,4,17,13,15,12,10 }按从小到大进行排序，序列的下标分别为{1,2,3,4,5,6,7}，A[i]表示下标为i的元素。
第一步：对无序的数组构造大根堆
大根堆的根节点是整个序列的最大值。
第二步：
将A[1]与A[7]互换，此时A[7]为序列的最大值，A[7]已经排序完毕，剩余的元素A[1]~A[6]形成新的未排序序列，由于此时序列不是大根堆，需要重构大根堆。
第三步：
将A[1]与A[6]互换，此时A[6]为序列的最大值，A[6]已经排序完毕，剩余的元素A[1]~A[5]形成新的未排序序列，由于此时序列不是大根堆，需要重构大根堆。
第四步：
将A[1]与A[5]互换，此时A[5]为序列的最大值，A[5]已经排序完毕，剩余的元素A[1]~A[4]形成新的未排序序列，由于此时序列不是大根堆，需要重构大根堆。
第五步：
将A[1]与A[4]互换，此时A[4]为序列的最大值，A[4]已经排序完毕，剩余的元素A[1]~A[3]形成新的未排序序列，由于此时序列不是大根堆，需要重构大根堆。
第六步：
将A[1]与A[3]互换，此时A[3]为序列的最大值，A[3]已经排序完毕，由于此时未排序的序列只剩下两个元素，而且A[0]>A[1]，将A[0]与A[1]互换即可得到最终的已排序序列。
C++程序实现
从上述的排序过程可知，堆排序主要有两个过程，大根堆的构建与重构：
1、大根堆的重构
如何实现大根堆的重构？如果一个原有的数组满足大根堆的性质，而只有其中一个元素改变从而破坏了大根堆的性质，那么可以从该元素出发，不断”逐级下降“，让子节点小于等于父子节点，满足大根堆的性质。以一个实例说明重构的过程：
堆排序的过程中，每一次改变的只有根节点的元素，因此只需要从根节点出发，进行如上图的操作即可实现大根堆的重构。C++代码如下：
1 void ReBuildMaxHeap(int *array,int arraylength,int startIndex){
2 int index=0;
3 //int j=0;
4 int max=0;
5 while((2*startIndex+1)<arraylength){
6 index = startIndex;
7 max = array[index];
8 if(max<(array[2*startIndex+1])){
9 max=array[2*startIndex+1];
10 index=2*startIndex+1;
11 }
12 if(2*startIndex+2<arraylength&&max<array[2*startIndex+2]){
13 max=array[2*startIndex+2];
14 index=2*startIndex+2;
15 }
16 if(index==startIndex){
17 break;
18 }
19 swap(array,index,startIndex);
20 startIndex = index;
21 }
22 }1、 构建大根堆。
要构建大根堆，只需要遍历所有非叶子节点元素，使其所有的叶子节点均不大于足该节点元素即可。构建大根堆自低向上对数组进行遍历，如果发现父节点的值小于子节点的值，则将父节点的值与子节点的最大值进行交换，保证父节点的数据总是大于子节点的数据。如果发生了数据的交换，有可能令子节点不满足大根堆条件，需要进行会输重构大根堆。以一个实际的例子说明构建大根堆的过程：
C++代码如下：
1 void createHeap(int *array,int length){
2 int max=0;
3 int index=0;
4 for(int i=floor(length/2)-1;i>=0;i--){
5 index = i;
6 max = array[i];
7 if(max<array[2*i+1]){
8 index=2*i+1;
9 max = array[2*i+1];
10 }
11 if(2*i+2<length&&max<array[2*i+2]){
12 index = 2*i+2;
13 max = array[2*i+2];
14 }
15 if(index!=i){
16 swap(array,index,i);
17 ReBuildMaxValue(array,length,index);
18 }
19 }
20 }
全部源代码：
1 #include "stdafx.h"
2 #include <iostream>
3 using namespace std;
4
5 //两个文位置的数据交换
6 void swap(int *array,int num1,int num2){
7 int temp = *(array+num1);
8 *(array+num1) = *(array+num2);
9 *(array+num2) = temp;
10 }
11
12 //重构大根堆
13 void ReBuildMaxValue(int *array,int arraylength,int startIndex){
14 int index=0;
15 //int j=0;
16 int max=0;
17 while((2*startIndex+1)<arraylength){
18 index = startIndex;
19 max = array[index];
20 if(max<(array[2*startIndex+1])){
21 max=array[2*startIndex+1];
22 index=2*startIndex+1;
23 }
24 if(2*startIndex+2<arraylength&&max<array[2*startIndex+2]){
25 max=array[2*startIndex+2];
26 index=2*startIndex+2;
27 }
28 if(index==startIndex){
29 break;
30 }
31 swap(array,index,startIndex);
32 startIndex = index;
33 }
34 }
35
36 //构建大根堆
37 void createHeap(int *array,int length){
38 int max=0;
39 int index=0;
40 for(int i=floor(length/2)-1;i>=0;i--){
41 index = i;
42 max = array[i];
43 if(max<array[2*i+1]){
44 index=2*i+1;
45 max = array[2*i+1];
46 }
47 if(2*i+2<length&&max<array[2*i+2]){
48 index = 2*i+2;
49 max = array[2*i+2];
50 }
51 if(index!=i){
52 swap(array,index,i);
53 ReBuildMaxValue(array,length,index);
54 }
55 }
56 }
57
58 //堆排序
59 void heapSort(int *array,int arraylength){
60 createHeap(array,10);
61 for(int i=arraylength-1;i>0;i--){
62 swap(array,i,0);
63 ReBuildMaxValue(array,i,0);
64 }
65 }
66
67 int main(int argc, _TCHAR* argv[])
68 {
69 int values[10]={5,4,17,13,15,12,10,7,11,9};
70 heapSort(values,10);
71 for(int i=0;i<10;i++){
72 cout<<*(values+i)<<endl;
73 }
74 return 0;
75 }
