带有噪声的线性模型噪声指的是什么

比较器输入噪声的仿真方法

• 前言
• 一、简单的概率问题
• 二、噪声情况下的比较器
• 三、基于最大似然估计的理论推导
• 四、代码实现

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前言

 比较器噪声的分析一直是ADC设计无法绕过的话题，例如SDM SAR等等。常规的比较器有两种，一种是带预放大器pre amp的，一种是动态latch或者加一个动态的放大器。显然，如果是前者，由于预放大器的倍数一般较高，所以比较器的噪声就是预放大器的噪声，按照运放的噪声分析方法即可;
 如果是后者，可以进行这样简单的考虑：由于动态latch的噪声主要来源于电荷泄放过程，因此计算latch输入对管的等效输入噪声电压即可。但是，如果需要更精确的分析，最好还是打开ADE L的transient noise，进行行为级的仿真。

一、简单的概率问题

 现在盒子里有100个球，60白，40黑。有放回的取20次，问：取到k个白球的概率是？
 答：
 每次取出白球的概率是0.6。20次中取到k次的可能情况有$C_{20}^k$种，而每种情况发生的概率都是$0.6^k\times0.4^{(1-k)}$，所以“取到k个白球”的概率是：
$C_{20}^k\times0.6^k\times0.4^{(1-k)}.$
 如果这个推论不错，则k=0,1,2,…20的概率之和为1，下面这段matlab代码可以证明:

prob_k=zeros(21,1);%0~20
for i=1:21
    k=i-1;
    times=nchoosek(20,k);
    prob_k(i)=power(0.6,k)*power(0.4,(20-k))*times;
end
figure;plot(prob_k);
sum(prob_k)

 这个取球问题在后面比较器噪声计算时要用到。

二、噪声情况下的比较器

 比较器的热噪声电压一般认为服从正态分布，正态分布的标准差σ即为比较器的噪声。让比较器进行100次比较，假如比较器的输入电压为0，可以预见到100次结果中有约50次结果为1，约50次结果为0，无论比较器的噪声电压是多少。
 但是，假如比较器的输入电压为0.3（无单位，是一个归一化值），此时比较器的噪声电压对100次的比较结果将有很大影响。如果噪声小至0.01，那么100次比较结果大部分都会是1。如果比较器噪声增加到了0.1，可以预见结果为1的次数会变少；
 如果比较器噪声继续增加，结果为1的次数会更少。如果比较器噪声非常大，那么0.3的输入电压将被完全淹没在噪声里无法分辨，输出结果又回到了“约50次为1，约50次为0”的情况。
 由以上的分析，直观上，输入一个不为0的电压，100次比较结果中“1”的次数k和比较器的噪声σ是有关系的。
 从数学上分析，首先分析比较器的行为模型。由于比较器的噪声电压是服从正态分布的钟形曲线的，定义其为pdf(x)，其中x为噪声电压值。标准正态分布（标准差σ=1，均值μ=0）的pdf如下图所示。

标准正态分布的cdf  当输入为0.3时，只要热噪声小于0.3，比较器结果就为高，所以，每次比较结果为“1”的概率是pdf(x)从-∞到0.3的积分值，概率论中有一个函数cdf用来表达这个积分结果，记为cdf(0.3).标准正态分布的cdf如下图所示，近似为S型。

标准正态分布的cdf

三、基于最大似然估计的理论推导

 显然，cdf不但是x的函数，也是σ的函数，现在记其为cdf(σ,x)。对于一个固定的输入vin0，如果能求解出cdf的表达式cdf(σ,vin0)，其统计意义为：
 标准差为σ的正态分布下，样本小于vin0的累积概率；
 其电路意义为：
 噪声为σ的比较器，在输入电压为vin0的情况下，比较结果为“1”的概率。
 那么，假设100次比较过程，比较结果为“1”的次数为k次。这就是一个上述的取球问题。“100次比较，结果为1的次数为k”的概率：
$P_k=C_{100}^k\times cdf(\sigma,vin_0)^k\times (1-cdf(\sigma,vin_0))^{(100-k)}.$
 注意，这个表达式中k是已知的（通过spectre+噪声仿真得到），vin0是已知的，未知数是σ，所以$P_k$是μ的函数$P_k(σ)$.
 最大似然估计的基本思想是，系统中某个参量m会影响事件A的发生概率，记A发生的概率为P(m)。现在A事件已经发生，求出使得P(m)最大的m值，即可作为对m参量的估计值。
$P_k(σ)$，找出其中最大值所对应的σ，即可作为比较器噪声的估计值。

四、代码实现

 由于pdf（概率分布函数）积分得到cdf（累积概率分布函数）较困难，所以一般cdf是被计算出来了一张表，matlab中，
 cdfx=normcdf(x,0,1)即代表pdf从-∞积分到x的值。
 按照上一小节中的描述进行matlab实现略复杂，因此采用一种更简单的思路来做。
 假设比较器噪声σ为1，这里实际上进行了归一化操作。我们已知100次比较结果有k次结果为1，在这个基础上，假设输入为vin_normal（归一化的vin），对于不同的vin_normal，出现k次结果为1的概率Pk(vin_normal)都是不同的，且可以容易地由前面的公式得出。找到其中使得Pk(vin_normal)最大的值，即得到了归一化的输入vin_normal.
 实际上，我们要求的量是噪声，定义为sigma_real。这里存在着简单的缩放关系：
$sigma\_real/vin\_real=sigma\_normal/vin\_normal，$
 其中sigma_normal是1，vin_normal通过对Pk(vin_normal)的最大似然估计求出，vin_real是电路中比较器的实际输入电压，则：
$sigma\_real=vin\_real/vin\_normal.$
 具体代码如下：

clear;
close all;
format long;
vin_real=0.5; %未归一化的输入电压单位是LSB
sigma_normal=1;%归一化的噪声sigma值
comp_total=100;
comp_k1=60;% 100次出现了80次结果为1
x=-3:0.001:3;
cdfx=normcdf(x,0,1);
index0=find(x==0);
index_max=max(size(x));
prob_pool=zeros(index_max,1); %记录0~8输入下“100次出k次1”的概率
% times=nchoosek(comp_total,comp_k1);%“100次出k次1”的可能情况
times=1;% 由于prob_pool里都乘以了同一个系数，所以不乘也罢
for i=1:1:index_max
    % 100次出k次1，等效为:噪声有k次小于x(i),(100-k)次大于x(i)
    prob1=cdfx(i);
    prob2=1-cdfx(i);
    prob_pool(i)=power(prob1,comp_k1)*...
        power(prob2,(comp_total-comp_k1))*times;
end
[~,max_posi]=max(prob_pool);
vin_normal=x(max_posi);
% 由于实际vin的输入为0.5LSB，sigma_real/sigma_normal=vin_real/vin_normal
sigma_real=vin_real/vin_normal*sigma_normal;

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