二项logistic回归结果

logistic回归是一个学习算法，用在监督学习问题中，输出y标签是0或1时，这是一个二元分类问题。

已知输入的特征向量x可能是一张图，你希望能识别出这是不是猫图，你需要一个算法，可以给出一个预测值，我们说预测值$\hat{y}$，就是你对y的预测，更正式地说，你希望$\hat{y}$是一个概率，当输入特征x满足条件时，y就是1$(\hat{y}=P(y=1|x))$。所以换句话说，如果x是图片，正如上一节中看到的，你希望$\hat{y}$能告诉你这是一张猫图的概率。所以x，正如上一节中说过的，是一个$n_x$维向量。

已知logistic回归的参数是w，也是一个$n_x$维向量，而b就是一个实数，所以已知输入x和参数w和b，我们如何计算输出预测$\hat{y}$？

其实可以这样算，但是不靠谱，就是$\hat{y}=w^Tx+b$，输入x的线性函数。事实上，如果你做线性回归，就是这么算的，，但这不是一个非常好的二元分类算法，因为你希望$\hat{y}$是$y=1$的概率，所以$\hat{y}$应该介于0和1之间。但实际上这很难实现，因为$w^Tx+b$可能比1大得多，或者甚至是负值，这样的概率是没意义的，你希望概率介于0和1之间。所以在Logistic回归中，我们的输出变成$\hat{y}=sigmoid(w^Tx+b)$，这就是sigmoid函数的图像。

横轴是z，那么sigmoid(z)就是这样的，从0到1的光滑函数，该函数与垂直轴相较于0.5处，这就是sigmoid(z)的图形，我们用z来表示$w^Tx+b$，这就是sigmoid函数的公式，$\hat{y}=sigmoid(z)$，其中z是实数，$\sigma = \frac{1}{1+e^{-z}}$。

要注意一些事情，如果z非常大，那么$e^{-z}$就很接近0，那么$\sigma \approx \frac{1}{1+某个很接近0的量}$，所以这接近1，事实上，如果看sigmoid这个图，当z很大时，sigmoid(z)就很接近1。相反，如果z很小，或者是非常大的负数，那么$e^{-z}$就会变成很大的数字，所以sigmoid函数就会接近0。所以当你实现logistic函数时，你要做的是学习参数w和b。

在继续之前，我们再讲讲符号约定，，当我们对神经网络编程时，我们通常会把参数w和参数b分开，这里b对应一个拦截器，在其他一些课程中你们可能看过不同的表示。在一些符号约定中，你定义一个额外的特征向量，$x_0=1$，那么新的x向量就是一个$n_x+1$维向量，然后将$\hat{y}=\sigma (\theta^Tx)$。在这另一种符号约定中，你有一个向量参数$\theta$，其中$\theta_0$扮演的是b的角色，这是一个实数，而$\theta_1$到$\theta_n$的作用和w一样。

事实上，当你实现你的神经网络时，将b和w看做独立的参数可能更好，所以在这门课中，我们不会用这种符号约定。