python威布尔分布函数 威布尔分布例题

前言：

前两个章节，我们对韦伯分布的分布函数，以及相关的曲线参数已经做了比较深入的了解，现在，我们结合统计的实际案例进行分析，这样有助于我们应用于工程实践和理解参数的最终意义。

本章我们针对实际的分析案例进行分析。
包括：真空吸尘器的生命周期、移动硬盘、轮胎的使用里程

实例和参数

例一：真空吸尘器的生命周期

定义某个品牌的真空吸尘器生命周期 X （单位：百工作小时）具备韦伯分布，而且他的历史数据可知有，β =2，η=3，求：

$E(X) and V(X)$
$\begin{aligned} E(X) &= \eta \Gamma (\dfrac{1}{\beta}+1)\\ &=3\Gamma(\dfrac{1}{2}+1)\\ &=3\Gamma(3/2)\\ &=3\times\dfrac{1}{2}\Gamma(1/2)\\ &=\dfrac{3}{2}\times\sqrt{\pi}\\ &=\dfrac{3}{2}\times1.7725\\ &=2.6587 \end{aligned}$
【案，意义为：吸尘器平均工作寿命为265.8小时】
$\begin{aligned} V(X) &= \eta^2 \bigg[\Gamma (\dfrac{2}{\beta}+1) -\bigg(\Gamma (\dfrac{1}{\beta}+1) \bigg)^2\bigg]\\ &=3^2 \bigg[\Gamma (\dfrac{2}{2}+1) -\bigg(\Gamma (\dfrac{1}{2}+1) \bigg)^2\bigg]\\ &=9\bigg[\Gamma(2)-\big(\Gamma(3/2)\big)^2\bigg]\\ &=9\bigg[1-\bigg(\frac{1}{2}\Gamma(1/2)\bigg)^2\bigg]\\ &=9\bigg[1-\bigg(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\bigg)^2\bigg]\\ &=9\bigg[1-\bigg(\frac{\sqrt{3.1416}}{2}\bigg)^2\bigg]\\ &=1.931846 \end{aligned}$
【案，在第一章我们已经分析过V(X)的意义，通过这个实例我们看到，吸尘器的平均使用寿命，如果用V(X)来分析的话，要不纯均值要小一点，可是，吸尘器商家一般都会在产品说明书上写上数学期望E(X)的值，我们使用者可以用这个值进行参考】

下面是计算吸尘器在不同的百小时工作范围内发生故障的概率：
【小于600小时的故障概率是98%】
$P(X\leq 6)$
$\begin{aligned} P(X\leq 6) &=F(6)\\ &= 1-e^{-(6/3)^{2}}\\ &= 1-e^{-(2)^{2}}\\ &= 1-e^{-(4)}\\ &=1-0.0183\\ &=0.9817 \end{aligned}$

【180小时到500小时之间的故障概率是67%】
$P(1.8\leq X \leq 5)$

$\begin{aligned} P(1.8 \leq X\leq 6) &=F(6)-F(1.8)\\ &= \bigg[1-e^{-(6/3)^{2}}\bigg] -\bigg[1-e^{-(1.8/3)^{2}}\bigg]\\ &= e^{-(0.6)^{2}}-e^{-(2)^{2}}\\ &= e^{-(0.36)}-e^{-(4)}\\ &=0.6977-0.0183\\ &=0.6794 \end{aligned}$

【大于300小时的故障概率是36.7%】
$P(X\geq 3)$

$\begin{aligned} P(X\geq 3) &=1-P(X< 3)\\ &= 1-F(3)\\ &= 1-\bigg[1-e^{-(3/3)^{2}}\bigg]\\ &= e^{-(1)^{2}}\\ &=0.3679 \end{aligned}$

例二：移动硬盘故障率案例

某品牌的移动硬盘的在腐蚀性气体里的故障分析满足韦伯分布，其中，η =300，β=0.5，求：

【移动硬盘五百小时内出错的概率】
$\begin{aligned} P(X\leq 500) &=F(500)\\ &= 1-e^{-(500/300)^{0.5}}\\ &= 1-e^{-(1.6667)^{0.5}}\\ &= 1-e^{-(1.291)}\\ &=1-0.275\\ &=0.725 \end{aligned}$

【移动硬盘600小时稳定的概率】
$\begin{aligned} P(X\geq 600) &=1-P(X< 600)\\ &= 1-F(600)\\ &= 1-\bigg[1-e^{-(600/300)^{0.5}}\bigg]\\ &= e^{-(2)^{0.5}}\\ &=0.2431 \end{aligned}$

例三:轮胎失效性分析模型案例：

轮胎的使用是我们经常遇到的一个失效性问题。通过研究大量轮胎使用的公里数目的统计数据，构建轮胎的失效韦伯分布模型。现在，我们有一家轮胎公司生产轮胎。这家公司每月提供12000条轮胎给汽车厂。通过之前统计的数据，我们可以得出该系列轮胎的韦伯分布的 形状参数β为2.5，缩放参数η 为8000公里，那么，我们现在想预估一下，在之前的统计数据下，现在如果车辆行驶5000公里，会有多少轮胎需要更换呢？

【案，也许你要问β为2.5怎么来的？这个在后面的章节我们会讨论】

我们上两章知道,CDF的函数F(t)可表征为失效率：

$\large\displaystyle F(t) = 1 - e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }} (t>0) （1）$

而可靠性为：

$\large\displaystyle R(t) = e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }} (t>0) （2）$

依据已知题意，代入公式（1），β=2.5，η =8000公里，t=5000公里，有，

我们可以画出韦伯分布的图形如下：

12000 * 0.266 = 3188

也就是在5000公里的时候，大约有3188条轮胎会出现问题。

【案，针对这个问题的韦伯分布曲线的变换图如下】【右下角是参数情况】

图一 β<1

上一章，我们已经分析了，韦伯分布曲线和三个参数变换的情况。这里我们结合实际解释一下。

图2 β<1

现在增加β

图3 β<1

随着β的增加，图形发生的变换，我们可以表述为 ，h(t)失效率随着时间的增加变换速度在逐渐减慢，但仍然保持随着时间增加，样本事件会更加稳定的结论。

图4 β=1

现在，h(t)失效函数稳定为一个直线，表述，随着时间增加系统的故障率不变，进入稳定运行阶段。

图5 β>1

h(t)失效函数稳定随着时间增加而平缓增加。

图6 β>1

图7 β=2

h(t)失效函数稳定随着时间增加而线性增加。

图8 β>2

h(t)失效函数稳定随着时间增加而指数增加。我们知道之前轮胎实际的统计数据，η =8000时候，β=3.5，那么为什么是β=3.5？
这里大约可解释为，轮胎的磨损的模型比较接近于高斯分布，也就是normal distribution，也就是轮胎的使用寿命，磨损的程度虽然和路况有关系，但是，统计的数据表述，最相关的还是轮胎本身的特性，例如橡胶材料，轮胎大小来决定的。这样就是高斯分布的样子。而8000公里也许就是轮胎的设计寿命时间。

图9 β>2

图10 β=8

【也许轮胎厂商希望轮胎使用，8000公里就必须立即更换，那么，也许设计轮胎让他数据统计达到β=8，这样如箭头所示，在8000公里的时候，h(t)的故障会急剧上升，而8000公里之前，他可以保证安全，这也许就是研究韦伯分布的实际意义】

上一章参考：

第1章第2章