§5 标架与坐标
一 空间点的直角坐标:
平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组
之间的一一对应关系，沟通了平面图形与数的研究.
为了沟通空间图形与数的研究， 我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现.
1、空间直角坐标系
过空间一定点
，作三条互相垂直的数轴，它们以
为原点，且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫
轴(横轴)、
轴(纵轴)、
轴(竖轴)，且统称为坐标轴.
通常把
轴，
轴配置在水平面上，而
轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则：
(图1.13)
右手握住
轴，当右手的四个指头从
轴的正向以
角度转向
轴正向时，大拇指的指向就是
轴正向.
三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系， 点
叫做坐标原点. 注：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把
轴与
轴间的夹角画成
左右.当然，它们的实际夹角还是
.
2、坐标面与卦限
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面.
由
轴与
轴所决定的坐标面称为
面，另外还有
面与
面.
三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限.
(图1.14)
3、空间点的直角坐标
取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系.
设
为空间的一已知点，过
点分别作垂直于
轴、
轴、
轴的三个平面，它们与
轴、
轴、
轴的交点依次为
，这三点在
轴、
轴、
轴的坐标依次为
，于是：空间点就唯一地确定了一个有序数组
，这组数叫
点的坐标.
依次称
，
，
为点
的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为
.
(图1.15)
反过来，若已知一有序数组
，我们可以在
轴上取坐标为
的点
，在
轴上取坐标为
的点
，在
轴取坐标为
的点
，然后过
、
、
分别作
轴、
轴、
轴的垂直平面，这三个平面的交点
就是以有序数组
为坐标的空间点.
这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点
和有序数组
之间的一一对应关系.
定义1 我们把上面有序数组
叫点
在此坐标系下的坐标，记为
.
二 空间两点间的距离公式
定理1 设
、
为空间的两点，则两点间的距离为
(1.5-1)
证
过
、
各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个以
为对角线的长方体，如图所示
(图1.16)
是直角三角形， 故
，
因为
是直角三角形， 故
，
从而
；
而
，
，
，
故
.
特别地，点
与坐标原点
的距离为
.
三 空间矢量的坐标
定义2 设
是与坐标轴
，
同向的单位矢量，对空间任意矢量
都存在唯一的一组实数
，
使得
，那么我们把这组有序的实数
，
叫做矢量
在此坐标系下的坐标，记为
或
.
定理2设矢量
的始终点坐标分别为
、
，那么矢量
的坐标为
. (1.5-2)
证 由点及矢量坐标的定义知
，
所以
=
.
由定义知
.
定理3 两矢量和的分量等于两矢量对应的分量的和.
证 设
，
，那么
=
+
=
，
所以
. (1.5-3)
类似地可证下面的两定理：
定理4设
，则
.
定理5 设
，
，则
共线的充要条件是
. (1.5-4)
定理6三非零矢量
，
，
共面的充要条件是
. (1.5-5)
证 因为
不共面，所以存在不全为0的实数
使得
，
由此可得
因为
不全为0，所以
.
