洛必达法则与泰勒公式的总结应用
由于是在word上编辑的文档，但在这个平台上发现很多符号不适用，无穷大符号变为了￥，趋近于的原本箭头符号变为了@
序言：
首先，我先对那些对数学迷茫，不知道洛必达和泰勒是什么的朋友说一下：不需要记住太多，1.洛必达就是在我们求极限时候，分子分母都趋近于0或都趋近于无穷大时，对分子分母同时求导。他可以起到一个降幂的作用。
2.泰勒公式就是在某点连续可导的情况下，在该点进行展开，直接套公式就可以。一般记着特殊形式麦克劳林公式就好。他可以起到一个升幂的作用。麦克劳林公式：
对具体过程没兴趣的记住上面这些就够用了！
正文：
因为最近开始准备考研，所以开始了漫长的刷高数题时间。在我们刷题过程中，有一类型的题是非常常见的——极限。而在这些极限问题中，我发现有两个知识点用到的最多，分别是泰勒公式与洛必达法则。那么，什么是洛必达法则？什么又是泰勒公式呢？那么接下来，我们一起来了解一下他们的历史与推导过程。
在我查阅了一些资料后，了解到：洛必达生在17世纪的欧洲，是一个法国的贵族家庭，家里富裕，从小热爱数学，但天赋并不是最顶尖的。而洛必达法则则是他从老师伯努利那里购买的，因此也有人称洛必达法则为伯努利法则。那么现在我们来简单的说一下洛必达法则的定义：洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法 。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
他一般在
的情况下可以使用。
那么为什么是在这两种情况下可以使用呢？现在我们先简单的推导一下：
型：
在
处的导数为：
，同理可得
在
处的导数
。那么
，其中
，因为在
处为
型，所以
，所以
型：另
那么
型了，因此
，另因为
，两个结合得到：
那么，现在我们已经简单的证明了洛必达法则，但有一个问题，我们这里证明是直接在
型的基础上证明的，那么有没有更加明确的，更容易理解的证明方法呢？有！
(因为该方法作者禁止转载，那么我只简单的说下思想，详细内容可查看知乎马同学)
我们都知道在数轴上某一点的导数其实就是在该点的斜率，那么如果我们构造一个新的函数z(x)=(g(x),f(x))，建立二维坐标系，它的横轴是g(x),纵轴是f(x)，那么当为
型时，z(x)则过坐标原点(0，0)，因为在曲线图形中，某一点的导数是在该点的斜率，那么对于任意x=a点，当x->a时，它的斜率为
，而这个式子正好是
，那么如果a点与(0,0)重合，此时f(a)=g(a)=0,那么
。同理的，对于
型，在
处取一个点A，那么他与(g(x),f(x))的连线和与(0,0)的连线在极限情况下是重合的，所以也可以推导出
。
(这里省略了画图过程，因为只是大概说一下，有兴趣可以查看详细内容)
现在，我们来看一下几道用洛必达求极限的常见问题：
练习题参考步骤：
此思路为作者自己思路，可供参考，如有错误请指正。
那么，在我们简单的了解洛必达之后，再来谈一谈泰勒公式。首先说一下泰勒这个人，18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年(即1714年)出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。
若函数f(x)在包含
的某个开区间(a,b)上具有(n+1)阶的导数，那么对于任一
,有：
现在我们来简单的推导一下一阶泰勒公式：
其中a(x)是该极限情况下的某个无穷小，那么可得到：
其中
，化简得到：
其中最后一项是
的高阶无穷小，因此直接记为：
而这也就是一阶泰勒公式，对于二阶泰勒公式，我们发现它与一阶的区别是多出了一项，那么我们则可以分析，多出的那一项是从后面的高阶无穷小分离出来了，因此需要分离出一个更小量，我们可以求
，因为：
所以可求极限，并把最终结果带入一阶泰勒公式，即可得出二阶泰勒公式，同理，我们可以得到三阶、四阶...
但这样的证明也是简略的，我们并不能理解泰勒公式的实际意义，那么，现在来说一下泰勒公式究竟表达了什么？
对于一次函数y=x+1,他用泰勒展开1阶后为1+x
对于二次函数y=x^2,他用泰勒展开2阶后为x^2
对于N次函数y=e^x,他用泰勒展开1阶后为1+x,展开2阶后为(x^2)/2,展开3阶后为...，我们发现，它是可以一直展开的，那么我们来分析一下它展开后有什么特点：
1.它们都过点(0,1)
2.展开后的图像由直线变为曲线
3.随着阶数的增大，展开后的图像越来越逼近原函数的图像
在对应我们的一次函数与二次函数，我们可以发现，泰勒展开其实是得到一个近似于原函数图像的函数。它的优点在于，可以把一个复杂的函数化为简单的a+bx+c(x^2)+d(x^3)+....形式,更方便我们的计算。
现在，我们来看一下几道泰勒公式常用的求极限问题：
