目录
- 线性回归
- 单变量线性回归
- 梯度下降
- 正规方程
线性回归
线性回归是一种有监督的学习，解决的是自变量和因变量之间的关系。
线性回归模型预测：
单变量线性回归
因为只含有一个特征/输入变量,因此这样的问题叫作单变量线性回归问题。
选择不同的参数值，就会得到不同的直线。对于假设函数所预测出来的值和实际值之间的差距就是建模误差，也就是存在着一个代价函数cost function。
我们的目标就是减少假设函数预测数来的值和实际值之间的差距，也就是让代价函数最小。而让代价函数最小，就需要我们选择合适的参数值。（1）简化对公式的理解
当我们认为θo=0时，我们对θ1取值，得到的J(x)的图像如下图所示（受不同训练集的影响）
（2）当对θo和θ1取值时，我们可以得到这样一个三维立体图像，如下图所示：
将三维立体图像用等高线表示，将如下图所示：
梯度下降
梯度下降法可以将代价函数最小化。梯度下降是很常用的算法，它不仅被用在线性回归上，还被广泛应用于机器学习的众多领域。
用梯度下降，从不同的点出发，可能得到一个完全不同的局部最优解
首先我们选择一个初始值θo、θ1,然后逐渐改变其值
我们可以看到J的函数图形如下（蓝色为最小值）：
背后的数学原理：
关于梯度下降算法，是同时更新θ_0和θ_1的
注意：
（1）“:=”表示赋值运算符，例如a:=b => a=b a:=a+1 => a+=1; 但是a=b 在这里表示是断言Truth assertion
（2）α 为学习率learning rate ， 当α 越大时梯度下降得越快。如果α过小，趋近最小值就会很慢。如果α过大，就有可能超过最小值，可能越过山谷直接到达山的另一边。
（3）J为一个凸函数，只有全局最小值，没有局部最小值
对J函数分别求偏导数
还有一个有意思的问题，当我们选取的 一开始就让我们的代价函数在全局最小值，那么情况会怎么样呢？
根据梯度下降算法的公式可以知道，当在全局最小值处时，偏导数就为0，那么就意味着无论梯度下降算法如何迭代， 还是原来的值，就没有发生变化，也就是梯度下降算法不再迭代了。
正规方程
我们先来举一个简单的例子
例：J(θ)=αθ^2+bθ+c 应该要如何求得最小值呢？其实容易想到对J求导，并设J(θ)'=0,得到θ值
那么对于J(θo,θ1,θ2,···,θm) 应如果求得最小值呢?如果如示例一样，逐一对θi求偏导，并设置偏导值f’(θi)=0,然后得到θo,θ1,θ2,···,θm。这显然很麻烦。以下由此引出正规方程。
举出一个示例，方便理解。
有些人也许会问，如果(XTX)不可逆该怎么办呢？
其实也是不用担心的，在Octava中有[pinv，inv]两个函数，使用pinv函数时，即时矩阵不可逆也可以计算出θ的值。
那么什么情况下会导致矩阵不可逆呢？
①太多的特征数量（m<=n）,也就是样本过少的时候
②包含了多余的特征函数
正规函数VS梯度下降
梯度下降
①需要选择学习率α的大小；
②需要多次迭代；
③当n很大时性能良好。
正则函数
①不需要选择学习率α；
②不需要迭代；
③需要计算（XTX）的逆；
④如果当n太大时，算法的复杂度过高，可达到O(n^3)，课程建议的是 n > 10,000时就不太合适了。
