傅里叶变换 android 傅里叶变换公式表图

吐槽

最近为了搞毕业设计，学习了一些《信号与系统》的知识，看的我好痛苦：证明的过程绕来绕去，然后就把结论给证明出来了。其中隐含了一些高等数学、线性代数、复变函数、数学分析的知识，隐含的知识有一点多。我感觉我是在学习魔法。所以，想着把学有所得的东西写下来吧。
我感觉把信号从时域转到频域以后，我来到了一个光怪陆离的世界。我只是在总结这一个光怪陆离世界的一些规律，把它写出来方便后来人理解。

序

之前以为傅里叶变换就是一个连续函数$f(x)$，可以拆分为多个$cos$、$sin$函数的叠加.后来才发现不是这样子的，我理解的是只是傅里叶级数。傅里叶变换，《信号与系统》一共介绍了四种，分别是：

• 傅里叶级数：从连续到离散的变换
• 傅里叶变换：从连续到连续的变换
• 离散傅里叶变换：从离散到连续的变换
• 离散傅里叶级数：从离散到离散的变换

今天，我先来介绍前面两种，对它进行公式推导。我尽可能写的通俗易懂，尽可能让大家理解。大家不能理解也没有关系。我为了理解傅里叶变换，花了大量时间学习了高等数学、线性代数、复变函数，才明白其中一些背景知识的。也许学习总有一个过程吧，不能一蹴而就、一步登天。受限与我的表达能力，受到了知识诅咒的我，也许真的很难找到一种角度，从很零基础的角度娓娓道来傅里叶变换，但是我会尽力而为。

大家也不要被这满篇数学给吓到。其实我做的事情很低端，一点儿也不高端。文章的核心思想就一个：构造一个理论，把时域的函数转到频域去。其他看起来面目狰狞的函数公式、满篇的数学其实都是纸老虎。把握核心思想就可以了。

让我们开始吧！

假设

//一些隐含的假设就写在这里，后期记得删掉

• 我是为了项目《声场》学习的《信号与系统》。所以接下来我会站在计算机的角度理解它
• $w_0$是一个被设计的常数。一般来讲越小越好。但是$w_0$越小性能消耗越严重
• 最小正周期$T_0$被称之为基波周期。$T_0 = \frac{2\pi}{w_0}$
• 函数$f(x)$是周期函数。最小正周期是$2\pi$。当你调整$w_0$是，最小正周期变为$\frac{2\pi}{w_0}$

基础知识

正交基函数

存在以下事实：

• $\int_{0}^{T_0} cos(kw_0x)dx = 0$
  $\int_{0}^{T_0} sin(kw_0x)dx = 0$
  （注：推导的时候注意：$T_0 = \frac{2\pi}{w_0}$）
• $\int_{0}^{T_0} cos(k_1w_0x)cos(k_2w_0x)dx = 0$
  $\int_{0}^{T_0} sin(k_1w_0x)sin(k_2w_0x)dx = 0$
  其中，$k_1\not=k_2$
• $\int_{0}^{T_0} sin(k_1w_0x)cos(k_2w_0x)dx = 0$
• $\int_{0}^{T_0} cos(k_1w_0x)^2dx = \frac{T_0}{2}$
  $\int_{0}^{T_0} sin(k_1w_0x)^2dx = \frac{T_0}{2}$

上面六条积分等式可以概括为这样子的一句话：

从以下多个函数中任取两个不重复的函数,相乘，然后再从0到$T_0$积分,其结果都为0.
$1、cos(w_0x)、cos(2w_0x)、cos(3w_0x)...$
$1、sin(w_0x)、sin(2w_0x)、sin(3w_0x)...$

傅里叶级数

什么是傅里叶级数？

傅里叶级数讲的是，对于任意一个函数$f(x)$,可以拆分为多个sin、cos函数的叠加：

$f(x) = B_0 + B_1cos(w_0x) + C_1sin(w_0x)+ B_2cos(2w_0x) + C_2sin(2w_0x) ... \tag{1}$

其中$B_0、B_1、C_1、B_2、C_2、B_3、C_3...$都是系数

不要被这个公式吓到！从感性上理解，就是”“对于任意一个函数$f(x)$,可以用很多个$sin$、$cos$函数的相加的形式来表示”。只不过$cos$、$sin$的系数$A$和$w$系数不同罢了。

怎么确定系数B0？

公式(1)可以改写为：
$f(x) = B_0 + \sum_{k=1}^{+∞}{B_k cos(kw_0x)} + \sum_{k=1}^{+∞}{C_k sin(kw_0x)} \tag{2}$
其中$B_k、C_k$是系数，$k\in [0,+∞)$,$w_0$是一个被设计的常数。

对公式(2)两边积分，可以得到：
$\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_0}}f(x)dx = \int_{0}^{\frac{2\pi}{w_0}}B_0 dx + \sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_0}}B_k cos(kw_0x)} dx+ \sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_0}}C_k sin(kw_0x)} dx \tag{3}$
由于有：$T_0 = \frac{2\pi}{w_0}$，于是
$\int_{0}^{T_0}f(x)dx = \int_{0}^{T_0}B_0 dx + \sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}B_k cos(kw_0x)} dx+ \sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}C_k sin(kw_0x)} dx \tag{4}$
设$\int_{0}^{T_0}f(x)dx = A+ B+ C$。
其中
$A = \int_{0}^{T_0}B_0 dx$
$B = \sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}B_k cos(kw_0x)} dx$
$C =\sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}C_k sin(kw_0x)} dx$

• 对于$A$，由微积分的知识，易知:$A =B_0T_0$
• 对于$B$，由正交性可知，易知:$B =0$ (注：$\int_{0}^{T_0} cos(kw_0x)dx = 0$)
• 对于$C$，由正交性可知，易知:$C =0$ (注：$\int_{0}^{T_0} sin(kw_0x)dx = 0$)

$\int_{0}^{T_0}f(x)dx$
$= A+ B+ C$
$= B_0T_0 + 0+0$
$= B_0T_0$
所以，$B_0 = \frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}f(x)dx$
至此，系数$B_0$被确定了

怎么确定系数Bk？

注意事项

• $i$是一个由$1$开始的正整数
• 你可以认为，$i$是从$[1,+∞)$里面任取的一个正整数。比如说$i = 100$
• 取完任意一个正整数，比如说$i = 100$后，与函数$f(x)$相乘然后再积分：$\int_{0}^{T_0}f(x)cos(100*w_0x)dx$
• $k$是一个由$1$开始的，连续变化的正整数

同样的，对于任意函数$f(x)$:
$f(x) = B_0 + \sum_{k=1}^{+∞}{B_k cos(kw_0x)} + \sum_{k=1}^{+∞}{C_k sin(kw_0x)} \tag{5}$

对公式(2)两边乘以$cos(iw_0x)$

$f(x)cos(iw_0x)$
$= B_0cos(iw_0x) + \sum_{k=1}^{+∞}{B_k cos(kw_0x)cos(iw_0x)} + \sum_{k=1}^{+∞}{C_k sin(kw_0x)cos(iw_0x)}$

然后对公式两边积分，可得：
$\int_{0}^{T_0}f(x)cos(iw_0x)dx$
$= \int_{0}^{T_0}B_0cos(iw_0x)dx + \sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}B_k cos(kw_0x)cos(iw_0x)} dx+ \sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}C_k sin(kw_0x)cos(iw_0x)} dx$

公式太长了。公式是由三个部分构成的。先把公式拆分为三个部分。设$\int_{0}^{T_0}f(x)cos(kw_0x)dx= A+ B+ C$
其中
$A = \int_{0}^{T_0}B_0cos(iw_0x)dx$
$B = \sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}B_k cos(kw_0x)cos(iw_0x)} dx$
$C =\sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}C_k sin(kw_0x)cos(iw_0x)}$

---

对于$A$,由正交性可知，$\int_{0}^{T_0} cos(kw_0x)dx = 0$
$A = \int_{0}^{T_0}B_0cos(kw_0x)dx$
$= B_0\int_{0}^{T_0}cos(kw_0x)dx$
$= B_0*0 = 0$

---

对于$B$,已知：
$\int_{0}^{T_0} cos(k_1w_0x)^2dx = \frac{T_0}{2}$
$\int_{0}^{T_0} cos(k_1w_0x)cos(k_2w_0x)dx = 0$

把这个$B$展开，可以得到：
$B = {\int_{0}^{T_0}B_0 cos(0*w_0x)cos(iw_0x)} dx$
$+{\int_{0}^{T_0}B_1 cos(1w_0x)cos(iw_0x)} dx$
$+{\int_{0}^{T_0}B_2 cos(2w_0x)cos(iw_0x)} dx$
$...$
$+{\int_{0}^{T_0}B_{k_1} cos(iw_0x)^2} dx$ (注意这里$i=k$)
$...$
$+{\int_{0}^{T_0}B_{k_n}cos({k_n}w_0x)cos(iw_0w_0x)} dx$

结合分析可知，只有当$k=i$时，才有数值.其余项积分为0.

于是：
$B = 0 + 0 + ...+ B_k*\frac{T_0}{2} + 0 + 0 + 0...$
$= B_k*\frac{T_0}{2}$

---

对于$C$，把这个$C$展开，可以得到：
$C =\sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}C_k sin(kw_0x)cos(kw_0x)}$

$= {\int_{0}^{T_0}C_1 sin(1w_0x)cos(iw_0x)}$
$+ {\int_{0}^{T_0}C_2 sin(2w_0x)cos(iw_0x)}$
$+ {\int_{0}^{T_0}C_3 sin(3w_0x)cos(iw_0x)}$
$+ {\int_{0}^{T_0}C_4 sin(4w_0x)cos(iw_0x)} + ...$

$= C_1{\int_{0}^{T_0} sin(1w_0x)cos(iw_0x)}$
$+ C_2{\int_{0}^{T_0} sin(2w_0x)cos(iw_0x)}$
$+ C_3{\int_{0}^{T_0} sin(3w_0x)cos(iw_0x)}$
$+ C_4{\int_{0}^{T_0} sin(4w_0x)cos(iw_0x)} + ...$

由于$\int_{0}^{T_0} sin(k_1w_0x)cos(k_2w_0x)dx = 0$，所以每一项都为0
于是：$C = 0 + 0 + 0 + 0... = 0$

---

总结一下：$\int_{0}^{T_0}f(x)sin(kw_0x)dx= A+ B+ C$。$其中A = 0、B=0、C = C_k\frac{T_0}{2}$。于是，可以得到：
$\int_{0}^{T_0}f(x)cos(kw_0x)dx= B_k\frac{T_0}{2}$
$B_k = \frac{2}{T_0}\int_{0}^{T_0}f(x)cos(kw_0x)dx$

怎么确定系数Ck？

同样的，对于任意函数$f(x)$:
$f(x) = B_0 + \sum_{k=1}^{+∞}{B_k cos(kw_0x)} + \sum_{k=1}^{+∞}{C_k sin(kw_0x)} \tag{5}$

对公式(2)两边乘以$sin(kw_0x)$，然后积分，可得:
$\int_{0}^{T_0}f(x)sin(kw_0x)dx$
$= \int_{0}^{T_0}B_0sin(kw_0x)dx + \sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}B_k cos(kw_0x)sin(kw_0x)} dx+ \sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}C_k sin(kw_0x)sin(kw_0x)} dx$

设$\int_{0}^{T_0}f(x)sin(kw_0x)dx= A+ B+ C$
其中
$A = \int_{0}^{T_0}B_0sin(kw_0x)dx$
$B = \sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}B_k cos(kw_0x)sin(kw_0x)} dx$
$C =\sum_{k=1}^{+∞}{\int_{0}^{T_0}C_k sin(kw_0x)sin(kw_0x)}$

对于$A$,由正交性可知，$A =0$
对于$B$,由正交性可知，$B =0$

对于$C$,已知：
$\int_{0}^{T_0} sin(k_1w_0x)^2dx = \frac{T_0}{2}$
$\int_{0}^{T_0} cos(k_1w_0x)sin(k_2w_0x)dx = 0$

把这个$C$展开，可以得到：
$C = {\int_{0}^{T_0}C_1 sin(1w_0x)sin(iw_0x)} dx$
$+{\int_{0}^{T_0}C_2 sin(2w_0x)sin(iw_0x)} dx$
$...$
$+{\int_{0}^{T_0}C_{k_1} sin(iw_0x)^2} dx$
$...$
$+{\int_{0}^{T_0}C_ksin({k_n}w_0x)sin(iw_0x)} dx$

结合分析可知，只有当$k=k_1$时，才有数值.其余项积分为0.

于是：
$C = 0 + 0 + ...+ C_k*\frac{T_0}{2} + 0 + 0 + 0...$
$= C_k*\frac{T_0}{2}$

---

总结一下：$\int_{0}^{T_0}f(x)sin(kw_0x)dx= A+ B+ C$。$其中A = 0、B=0、C = C_k\frac{T_0}{2}$。于是，可以得到：
$\int_{0}^{T_0}f(x)sin(iw_0x)dx= C_k\frac{T_0}{2}$
$C_k = \frac{T_0}{2}\int_{0}^{T_0}f(x)sin(iw_0x)dx$

总结

$f(x) = B_0 + \sum_{k=1}^{+∞}{B_k cos(kw_0x)} + \sum_{k=1}^{+∞}{C_k sin(kw_0x)}$，
其中$T_0 = \frac{2\pi}{w_0}$,每一项的系数可由以下公式确定：
$\begin{cases} B_0 = \frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}f(x)dx \\ B_k = \frac{2}{T_0}\int_{0}^{T_0}f(x)cos(iw_0x)dx\\ C_k = \frac{2}{T_0}\int_{0}^{T_0}f(x)sin(iw_0x)dx\\ \end{cases}$

傅里叶级数的复数表达形式

傅里叶公式一共有四条，公式比较多如果用复数来表达，四条公式可以浓缩为2条。
$x(t) = \sum_{k = -∞}^{+∞}{a_k e^{jkw_0t}}$
$a_k = \frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}x(t)e^{-jkw_0t}dx$
其中，$w_0 = \frac{2\pi}{T_0}$

傅里叶级数的复数表达形式，与原始公式的关系为：
$\begin{cases} B_0 = a_0 & k=0 \\ B_k = a_{-k} + a_k &k\neq 0 \\ C_k = j(a_{k} - a_{-k})&k\neq 0 \\ \end{cases}$
或者，可以写为：
$\begin{cases} a_0 = B_0 & k=0 \\ a_k = \frac{1}{2}(B_{k} - jC_k)& k\geq1 \\ a_{-k} = \frac{1}{2}(B_{k} + jC_k) &k\geq1 \\ \end{cases}$

接下来，我来证明一下。我将从右边推到左边。
$右边 = x(t)$
$= \sum_{k = -∞}^{+∞}{a_k e^{jkw_0t}}$

$= {a_0 e^{j0w_0t}} + ( {a_1 e^{j1w_0t}} + {a_{-1}e^{j(-1)w_0t}} )+ ( {a_2e^{j2w_0t}}+{a_{-2} e^{j(-2)w_0t}}) + ({a_3 e^{j3w_0t}} + {a_{-3} e^{j-3w_0t}})...$

$= a_0+ (a_1cos(w_0t)+ja_1sin(w_0t)+a_{-1}cos(w_0t)-ja_{-1}sin(w_0t)) + (a_2cos(2w_0t)+ja_2sin(2w_0t)+a_{-2}cos(2w_0t)-ja_{-2}sin(2w_0t))+...$

$= a_0+ (a_1+a_{-1})cos(w_0t)+j(a_1-ja_{-1})sin(w_0t)) + (a_2+a_{-2})cos(2w_0t)+j(a_2-ja_{-2})sin(2w_0t)) ...$
与傅里叶级数公式对照，可得：
$\begin{cases} B_0 = a_0 & k=0 \\ B_k = a_{-k} + a_k &k\neq 0 \\ C_k = j(a_{k} - a_{-k})&k\neq 0 \\ \end{cases}$
于是可得：
$f(x)= B_0+ B_1cos(w_0t)+C_1sin(w_0t)) + B_2cos(2w_0t)+C_2sin(2w_0t)) ...$
$= B_0 + \sum_{k=1}^{+∞}{B_k cos(kw_0x)} + \sum_{k=1}^{+∞}{C_k sin(kw_0x)}$
$= 左边$
于是原公式得证。

傅里叶变换

温馨提示

• 傅里叶级数是从连续到离散的变换，而傅里叶变换是从连续到连续的变换
• 傅里叶变换可以理解为是将傅里叶级数推广到非周期的函数。$w_0$趋近于0，周期$T_0$趋近于无穷，

公式推导

首先，我们定义：
$X(jw) = \int_{\beta}^{T_0+\beta}x(t)e^{-jwt}= \int_{T_0}x(t)e^{-jwt}$
注：上面两个公式的等价的。意思是积分不一定要从0开始，只要积满一个周期$T_0$就可以了。

已知傅里叶级数的复数表达公式，结合上面的定义，可得：

$a_k = \frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}x(t)e^{-jkw_0t}dx = \frac{1}{T_0}X(jkw_0)$
把$a_k = \frac{1}{T_0}X(jkw_0)$代入$x(t) = \sum_{k = -∞}^{+∞}{a_k e^{jkw_0t}}$
可得：
$x(t) = \frac{1}{T_0}\sum_{k = -∞}^{+∞}{X(jkw_0)e^{jkw_0t}}$

$= \frac{1}{T_0w_0}\sum_{k = -∞}^{+∞}{X(jkw_0)e^{jkw_0t}}*w_0$
$= \frac{w_0}{2\pi*w_0}\sum_{k = -∞}^{+∞}{X(jkw_0)e^{jkw_0t}}*w_0$
$= \frac{1}{2\pi}\sum_{k = -∞}^{+∞}{X(jkw_0)e^{jkw_0t}}*w_0$

非周期函数$f(x)$可以理解为是一个$T_0$无穷大的函数。$T_0$无穷大，由于$T_0 = \frac{2\pi}{w_0}$,所以$w_0$无穷小。

所以：
$x(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}X(jw)e^{jwt}dw$(这里绕不过来，建议去看看积分的定义)

总结：

非周期的函数$x(t)$的傅里叶变换：

被称为傅里叶变换公式：
$X(jw) = \int_{-∞}^{+∞}x(t)e^{-jwt}$
其记号为（就是一种写法，下同）：
$x(t) \stackrel{F}{\rightarrow} X(jw)$
被称为傅里叶反变换公式
$x(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-∞}^{+∞}X(jw)e^{jwt}dw$
其记号为：
$X(jw) \stackrel{F^{-1}}{\rightarrow} x(t)$
其中
$x(t)$被称为时域、时间域
$X(jw)$被称为频域、频率域

至此，两种傅里叶变换：傅里叶级数、傅里叶变换推导完毕。
再见!

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）公式如下：
$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-i2\pi nk/N},\quad k=0,1,\cdots,N-1$
其中，$x_n$为原始信号的离散采样值，$X_k$为傅里叶变换后的频域信号，$N$为采样点数，$i$为虚数单位，$k$为频域的离散采样点。公式中的$e^{-i2\pi nk/N}$为旋转因子，可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法来高效计算。DFT可以将原始信号从时域转换到频域，从而分析信号的频率成分和能量分布，是信号处理领域中重要的工具。

已知离散傅里叶变化的公式为：

假设已知$X(e^{jw})$在$w\in[0,2\pi)$上$N$个不同的取值，比如，已知：
$X(e^{jw_0})、X(e^{jw_1})、X(e^{jw_2})、X(e^{jw_3})、X(e^{jw_4})...X(e^{jw_{N-1}})$
的值，则我们可以求得$x[n]$.
这是因为，由离散傅里叶变化公式，可得：
$X(e^{jw_0}) = x[0] + x[1]e^{-jw_0} +x[2]e^{-j2w_0} + ... + x[N-1]e^{-j(N-1)w_0}$
$X(e^{jw_1}) = x[0] + x[1]e^{-jw_1} +x[2]e^{-j2w_1} + ... + x[N-1]e^{-j(N-1)w_1}$
$X(e^{jw_{N-1}}) = x[0] + x[1]e^{-jw_{N-1}} +x[2]e^{-j2w_{N-1}} + ... + x[N-1]e^{-j(N-1)w_{N-1}}$
上述公式的矩阵化表述为：
$A*B = C$
其中，
$A=\begin{bmatrix} 1 & e^{-jw_0} & e^{-j2w_0} &\cdots & e^{-j(N-1)w_0} \\ 1 & e^{-jw_1} & e^{-j2w_1} &\cdots & e^{-j(N-1)w_1} \\ 1 & e^{-jw_2} & e^{-j2w_2} &\cdots & e^{-j(N-1)w_2} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & e^{-jw_{N-1}} & e^{-j2w_{N-1}} &\cdots & e^{-j(N-1)w_{N-1}} \\ \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} x[0] \\ x[1] \\ x[2] \\ \vdots \\ x[N-1] \\ \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} X(e^{-jw_0}) \\ X(e^{-jw_1}) \\ X(e^{-jw_2}) \\ \vdots \\ X(e^{-jw_{N-1}}) \\ \end{bmatrix}$
对于$w_0、w_1、w_2、...w_{N-1}$取$[2,\pi)$上两两不相等的数字，可以证明，将矩阵A改写为行列式R，如果行列式R不为0（可以证明该行列式是范德蒙行列式），则对于公式
$A*B = C$
来说，已知A、C，可以求B。其含义为。第一，就是可以求$x[n]$。第二，就是A可逆。进一步的，如果求出来所有的$x[n]$，就可以利用离散傅里叶变换求出$X(e^{jw})$在所有$w$上的数值。
所以，尽管$X(e^{jw})$是一个连续的函数，但是其值在$N-1$个离散点上完全确定。所以，对于一个$N$点序列$x[n]$，我们可以构建一个离散到离散的傅里叶变换，用N个离散的点来代表其频域。
我们选择如下的$w_0 \sim w_{N-1}$（这是前人的想法，可以降低算法时间复杂度）：
$w_0=0、w_1=\frac{2\pi}{N}、w_2=\frac{2*2\pi}{N}、...、w_{N-1}=w_2=\frac{(N-1)*2\pi}{N}$
这就是离散傅里叶级数（DFS）：
其正变换和反变换公式如下：
正变换公式：
$a_k = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N}, \quad k=0,1,\cdots, N-1$
反变换公式：
$x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{j2\pi kn/N}, \quad n=0,1,\cdots, N-1$
其中，$j$为虚数单位，$x[n]$为原始信号的离散采样值，$N$为采样点数，$k$为频域的离散采样点，$a_k$为傅里叶变换后的频域信号。正变换将原始信号从时域转换为频域，而反变换则将频域信号还原回时域。
在矩阵的计算中，涉及到大量的重复计算。如果进一步利用矩阵计算时的中间信息，则可以进一步降低算法的时间复杂度。实验表明，一个8点的离散傅里叶级数算法，可以拆分为两个4点的离散傅里叶级数算法计算结果的线性叠加。同时，一个4点的离散傅里叶级数算法，可以拆分为两个2点的离散傅里叶级数算法计算结果的线性叠加。那么，对于一个长度为N的序列，比如当$N=1024$时，也可以不断拆分下去，充分利用已知的计算信息来计算（编程中的“递归”思想），进一步降低算法复杂度。这就是大名鼎鼎的快速傅里叶算法。论述该算法合理性，其篇幅过长，这里按下不表。