迪杰斯特拉算法如果不熟悉的话从这里开始看。。。。如果已经明白了迪杰斯特拉算法而想知道花费问题、城市之间的物资问题、最短路径条数问题的朋友可以往下翻。。。。
一、迪杰斯特拉算法讲解
算法思想是从起点开始，找到一条起点能到达顶点中的边权最小的那个点，然后从这个点开始更新起点和该点共有的点的最短路径。。思想看起来很好懂，实际编码实现还是有难度的。
我说一个我的思路：
1、初始时把图（不管是有向图还是无向图） 中的各个边的权重设置为无穷大。 从起点到各个点的距离设置为无穷大。 每个点是否经过的标记设置为false。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3fffffff;
const int maxv = 1000; ///最大顶点数
int G[maxv][maxv]; ///图
int n,m,s; ///n表示顶点数，m表示变数，s为起点
int d[maxv]; ///从起点到各个点的距离
bool vis[maxn] = {false};
int main()
{
return 0;
}注意：maxn 表示最大数的时候，0x表示16进制，要用0x3fffffff而不是用0x7ffffff;
2、从p键盘接受各个点之间的路径
int main()
{
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
fill(G[0],G[0]+maxv*maxv,INF); ///将图初始化的一种方式 慎用memset
for(int i=0; i<m; i++)
{
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
G[u][v] = w;
G[v][u] = w; ///无向图加上这句话
}
return 0;
}3.开始写迪杰斯特拉算法
1）: 将从起点各个点的路径的距离设置为最大，并将起点到自身的距离设置为0；
void Dijkstra(int s)
{
fill(d,d+maxv,INF);
d[s] = 0;
}2）： 因为有n个顶点，所以开始n次循环
首先我们设置两个变量，u（是d[u]最小）和minnum（存放最小的d[u])。
然后找到图中未访问的结点中d[j]的最小值。
分支情况：如果找不到，则说明剩下的点和s不连通，返回；
如果找到：标记u点为访问过； 开始再次访问图中的结点(记为V )
如果该结点未被访问并且u能到该点并且以u为中介点可以让d[v]更小，则更新
void Dijkstra(int s)
{
fill(d,d+maxv,INF);
d[s] = 0;
for(int i=0; i<n; i++) ///整体的循环
{
int u = -1,minnum = INF;
for(int j=0; j<n; j++)
{
if(vis[j] == false && d[j] < minnum)
{
u = j;
minnum = d[j];
}
}
if(u == -1 ) return ; ///如果找不到
vis[u] = true;
for(int v=0; v<n; v++)
{
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF && d[u] + G[u][v] < d[v])
{
d[v] = d[u] +G[u][v]; ///优化最短路
}
}
}
}所以连起来就是：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3fffffff;
const int maxv = 1000; ///最大顶点数
int G[maxv][maxv]; ///图
int n,m,s; ///n表示顶点数，m表示变数，s为起点
int d[maxv]; ///从起点到各个点的距离
bool vis[maxn] = {false};
void Dijkstra(int s)
{
fill(d,d+maxv,INF);
d[s] = 0;
for(int i=0; i<n; i++) ///整体的循环
{
int u = -1,minnum = INF;
for(int j=0; j<n; j++)
{
if(vis[j] == false && d[j] < minnum)
{
u = j;
minnum = d[j];
}
}
if(u == -1 ) return ; ///如果找不到
vis[u] = true;
for(int v=0; v<n; v++)
{
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF && d[u] + G[u][v] < d[v])
{
d[v] = d[u] +G[u][v]; ///优化最短路
}
}
}
}
int main()
{
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
fill(G[0],G[0]+maxv*maxv,INF); ///将图初始化的一种方式 慎用memset
for(int i=0; i<m; i++)
{
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
G[u][v] = w;
G[v][u] = w; ///无向图加上这句话
}
Dijkstra(s); ///迪杰斯特拉算法入口
for(int i=0; i<n; i++)
printf("%d ",d[i]);
return 0;
}二、我们来看看提到的花费啊，物资啊等问题
既然懂了迪杰斯特拉算法，那么题目肯定不会考的这么“裸”，最常见的三种问题就是：
1：给每条再增加一个边权（比如说花费），然后求在最短的路径有多条时要求路径上的花费最小（也可以是别的含义，求最大）
2：给每个点增加一个点权（比如从每个城市能收集到的物资），然后在最短路径有多条的时候要求路径上的点权之和最大（同理，也可以是最小）
3：直接问有多少最短路径
我们来看看解法
针对一增加边权，那我们在增加一个数组cost[u][v] ，表示从u到v的花费，在增加一个数组c[],作用跟d[]一样，初始化时也设置为INF，起点s设置为0。在优化边的代码中更改如下：
for(int v=0; v<n; v++)
{
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF)
{
if(d[u] + G[u][v] < d[v]) ///优化最短路
{
d[v] = d[u] +G[u][v];
c[v] = c[u] + cost[u][v];
}else if(d[u] +G[u][v] == d[v] && c[u] + cost[u][v] < c[v])
{
c[v] = c[u] + cost[u][v];
}
}
}
针对二，增加点权问题，我们加一个数组weight[u]表示城市u中的物资数目，（由题中给出），并增加一个数组w[]，令从起点s到顶点u可以收集到的物资为w[u] .
for(int v=0; v<n; v++)
{
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF)
{
if(d[u] + G[u][v] < d[v]) ///优化最短路
{
d[v] = d[u] +G[u][v];
w[v] = w[u] + weight[v];
}else if(d[u] +G[u][v] == d[v] && w[u] + weight[v] > w[v])
{
w[v] = w[u] + weight[v];
}
}
}针对三，只需要增加一个数组num[],令其从起点s到u的最短路径为num[u] ， 初始化时只有num[s] = 1 其余为0，
for(int v=0; v<n; v++)
{
if(vis[v] == false && G[u][v] != INF)
{
if(d[u] + G[u][v] < d[v]) ///优化最短路
{
d[v] = d[u] +G[u][v];
num[v] = num[u];
}else if(d[u] +G[u][v] == d[v])
{
num[v] += num[u];
}
}
}基本上迪杰斯特拉考的问题就这些。注意只是正边权问题！！
