lua除法整数

整数的因子分解

一、带余除法和整除法

  定理1.1 设 a，b 是两个整数，其中b>0，则存在唯一的整 数q和r使得 ,

a=qb+r， 其中的除法称为带余除法或者欧几里得除法。q称为a被b除得的不完全商，r称为余数。

  若式子中，r=0，则称b整除a，记为b|a。b称为a的 真因子，a是b的倍数。

   整除的性质, (b>0,c>0)

     1. c | b , b | a => c | a ;
     2. b | a <=> bc | ac ;
     3. 对任意整数x，y有： c | a , c | b <=> c | (ax+by)

二、整数的表示

  n 的 a 进制表示 n = $r_ta^t$+$r_{t-1}a^{t-1}$+……+$r_2a^2$+$r_1a$+$r_0$，
  其中，a 是大于1的整数，n 是任一整数。

十六进制	二进制	十六进制	二进制
0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	A	1010
3	0011	B	1011
4	0100	C	1100
5	0101	D	1101
6	0110	E	1110
7	0111	F	1111

三、最大公因子与辗转相除法

  定理1.2 设a，b，c为三个正整数，且 a = bq + c , 其中 q 为整数，则 (a,b) = (b,c)。

  求(a,b)：辗转相除法

a = b$q_1$ + $r_1$, 0<$r_1$<|b|,
b = $r_1q_2$ + $r_2$, 0<$r_2$<$r_1$,
······
$r_{k-1}$ = $r_kq_{k+1}$ + $r_{k+1}$, 0<$r_{k+1}$<$r_k$,
······
$r_{n-3}$ = $r_{n-2}q_{n-1}$ + $r_{n-1}$, 0<$r_{n- 1}$<$r_{n-2}$
$r_{n-2}$ = $r_{n-1}q_n$ + $r_n$, 0<$r_n$<$r_{n-1}$,
$r_{n-1}$ = $r_nq_{n+1}$
结论：(a , b) = $r_n$

$r_1$>$r_2$>···，所以等式有限。

  定理1.3 对任意两个正整数a,b，存在整数x和y，使得 （a,b）= xa + yb。
  从倒数第二个等式开始倒推，用该等式的整数 $r_i$ 来表示余数 $r_n$

$r_n$ = $r_{n-2}$ - $r_{n-1}q_n$，（此时整数为$r_{n-1}$，$r_{n-2}$ ）
再代入上一个等式中的$r_{n-1}$，$r_{n-1}$ = $r_{n-3}$ - $r_{n-2}q_{n-1}$
得到，$r_n$ = -$r_{n-3}q_n$ + $r_{n-2}(q_nq_{n-1}+1)$， （此时整数变成$r_{n-2}$，$r_{n-3}$）
继续带入再上个等式的余数，直到整数变为a，b，即得所求。

  （793，2769）= 13 = 793×7 + 2769 × (-2)，可自行验证。

  推论1.1 设d是a和b的任一公因子，则 d | (a , b) 。

  定义1.2 设$a_1$, $a_2$, ···, $a_n$是 n 个整数。如果整数 d 是它们中 每一个数的因数，那么就称 d 为公因数。所有公因数中最大的 一个正整数为最大公因数。

  定理1.4 设$a_1$, $a_2$, ···, $a_n$是 n 个整数。令
    （$a_1$, $a_2$）= $d_1$，($d_1$,$a_3$)=$d_2$，···，($d_{n-2}$,$a_n$)=$d_{n-1}$
  则（$a_1$, $a_2$, ···, $a_n$）= $d_{n-1}$，因而存在整数$u_1$, $u_2$, ···, $u_n$，使得
    $a_1u_1$+$a_2u_2$+···+$a_nu_n$ =（$a_1$, $a_2$, ···, $a_n$）

四、整数的唯一分解定理

  定理1.5 设p为素数，a，b为整数，若p | ab，则 p | a 或 p | b 。

  定理1.6 （唯一分解定理）任一不为1的正整数n均可以 唯一地表示为

$p_1^{α_1}p_2^{α_2}···p_s^{α_s}$

  其中，

$p_1$≤

$p_2$≤···≤

$p_s$，

$α_i$ 为自然数，i=1,2,···,s。

  定义1.3 设$a_1$, $a_2$, ···, $a_n$是 n 个整数。如果整数 m 是它们中 每一个数的倍数，那么就称 m 为公倍数。所有公倍数中最小的 一个正整数为最小公倍数。

  定理1.7 设$a_1$, $a_2$, ···, $a_n$是 n 个非零整数。令
    [$a_1$, $a_2$] = $m_1$，[$m_1$,$a_3$]=$m_2$，···，[$m_{n-2}$,$a_n$]=$m_{n-1}$
  则（$a_1$, $a_2$, ···, $a_n$）= $m_{n-1}$。

  定理1.8 设a，b为两个正整数，则 [a , b] = $\frac{ab}{(a , b)}$

五、素数

  定理1.9 素数有无穷多个。

$\frac{x}{lnx}$

  定理1.10 设n>1，若$a^n-1$为素数，则 a=2，n为素数。

  定义1.4 整数 $M_n$= $2^n-1$ 称为第n个Mersenne数，当 $M_p$ = $2^p-1$ 为素数时，$M_p$称为Mersenne素数。

  定理1.11 若 $2^m+1$为素数，则 m一定是2的方幂。

  定义1.5 形如 $Fn=2^{2^n}+1$的数称为Fermat数，如果此数是素数，则称为Fermat素数。

  定理1.12 设 n 是一个大于1的正整数，如果对所有小于或等于$\sqrt n$

六、多项式的整除

  定义1.6 若f(x)没有真因子，则称其为不可约多项式。

  定理1.12 设f(x)，g(x) ∈Q[x]，(f(x)，g(x) )是f(x)和g(x) 的最大公因子，则存在m(x)，n(x) ∈Q[x]，使得

(f(x)，g(x) )=m(x)f(x)+n(x)g(x)