集合是把复杂的关系简单化的数学工具。集合间基本关系的基础题型，主要偏向于运用集合间基本关系求值或判断不同集合间关系，难度从一维的简单理解，到二维的初步运用。
相当于你已经学会了两个数值的比较大小，现在要学会比较多个数值的大小，及通过比较大小可以判断一些问题。
听起来是不是很复杂呢？不要害怕，包Sir来助你快速掌握！
小编乱入
知识会
知识点1 子集【重点】
1. 子集的含义
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
敲黑板
(1)空集是任何集合的子集，也就是说，对于任意一个集合A，都有∅⊆A；
(2)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.
划重点
对应地，如果A不是B的子集，则记作A⊈B(或B⊉A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”).
2. Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图.
求甚解
(1)表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线；
(2)用Venn图表示集合的优点是能直观地表示出集合间的关系．
3. 对子集的理解
3-1 A⊆B的Venn图
3-2 A⊆B的符号含义
A⊆B的符号表示对任意
，都有
．划重点
(1)任何集合A都是它自身的子集，即A⊆A.
(2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A.
4. 判断集合A是否是集合B的子集的方法
判断集合A是否是集合B的子集时，必须明确子集的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素(要么A＝B，要么A比B中的元素少，但要注意空集，空集的性质将在后面会介绍到)．
例如：设集合A＝{四边形}，B＝{平行四边形}，C＝{矩形}，D＝{正方形}，用Venn图表示它们之间的关系，如下：
辨析
区别元素与集合，集合与集合间的关系
示范例题
例题1.(单选题)[2020吉林梅河口五中4月模拟]已知集合A＝{x∈Z|－2＜x≤1}，B⊆A，则集合B中的元素个数最多是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】A＝{x∈Z|－2＜x≤1}＝{－1，0，1}，
又B⊆A，则集合B中的元素个数最多时，A＝B，
则B中有3个元素.故选C．
知识点2 真子集【重点】
1. 真子集
1-1定义
对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B
A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).辨析
子集与真子集的关系
根据真子集的定义，集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：
(1)集合A是集合B的子集，即A⊆B；
(2)存在元素x∈B，且x∉A．
所以若集合A是集合B的真子集，则集合A一定是集合B的子集，反之，不成立．
1-2 A⫋B的Venn图
划重点
(1)任何集合都不是它本身的真子集.
(2)A⊆B包含A=B和A⫋B两种情况.
2. 子集与真子集的性质
①对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；
②对于集合A，B，C，如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C.
将性质②演示如下：
示范例题 例题1.(单选题)已知
，则( )
A．A＞B
B．A⫋B
C．B⫋A
D．A⊆B
【答案】C
【解析】由集合A与集合B中元素的取值范围得，B中所有元素都在A中，且A中有不属于集合B的元素，所以B⫋A，故选C．
werewrwe
例题2.(单选题)下列命题中，正确的有( )
①空集是任何集合的真子集；
②若A⫋B，B⫋C，则A⫋C；
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；
④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B．
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
【答案】C
【解析】空集只是空集的子集而非真子集，故①错；
真子集具有传递性，故②正确；
空集没有真子集，故③错；
由Venn图易知④正确，故选C．
知识点3 集合的相等与子集的关系
【基础】
1. 集合相等的子集表示
对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A=B. 可用Venn图表示如下：
即对于两个集合A与B，若A⊆B且B⊆A，则A=B.
求甚解
对集合相等的理解
(1)从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合A中的元素和集合B中的元素相同，则这两个集合相等；
(2)从两个集合的关系出发表达两个集合相等，即A⊆B，则对任意x∈A都有x∈B,同时B⊆A，则对任意x∈B都有x∈A，这说明两个集合的元素是相同的，即两集合相等.
划重点
如果A＝B，则A⊆B且B⊆A，即A=B等价于A⊆B且B⊆A．
2. 判断两个集合相等的方法
(1)欲证A=B，只需证明A⊆B且B⊆A．
(2)如果两个集合A，B均为有限集，只要元素个数相等，且元素相同，则两个集合相等；
(3)如果两个集合A，B均为无限集，则看两个集合的代表元素是否一致，若代表元素以及它所满足的条件均一致，则A=B．
示范例题
所以N是M的真子集.故选C．
K重难
要点1 子集、真子集个数的确定【重点】
1. 列举法
当一个集合的元素个数较少时，我们可以一一列举出全部子集，从而求出子集与真子集的个数，注意不要漏掉空集．
2. 公式法
当一个集合的元素个数较多时，一一列举子集不太现实，对于子集的个数有如下结论：
若集合A中含有n个元素，则
①集合A的子集有2n个；
②集合A的真子集有(2n－1)个(即集合A的子集中除去集合A本身)；
③该集合的非空子集有(2n－1)个(即集合A的子集中除去空集)；
④该集合的非空真子集有(2n－2)个(即集合A的子集中除去集合A和空集)．
拓展
集合A中含有n(n≥1)个元素，集合C中含有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m-n个．
示范例题
例题1.(单选题)[2020辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校期末]欧拉公式：eπi+1＝0被人们称为世间最美数学公式，其中e＝2.718……是无理数，i是以后会学习的虚数(不是实数)，由公式中数值组成的集合A＝{e，π，i，1，0}，则集合A不含无理数的子集共有( )
A．8个
B．7个
C．4个
D．3个
【答案】A
【解析】集合A＝{e，π，i，1，0}，
∵集合A中不是无理数的有i，1，0，
∴集合A不含无理数的子集共有23＝8．故选A．
要点2 根据集合间的基本关系求参数的取值或取值范围【重点】
对于两个集合A与B，A或B中含有待定的参数(字母)，若已知集合A与B的关系，求参数的取值或取值范围时，常采用分类讨论与数形结合的方法．
(1)分类讨论.若A⊆B，在未指明A非空时，应分为A＝Æ和A≠Æ两种情况来讨论．(参见例题)
(2)数形结合．对A≠Æ这种情况，在确定参数时，常需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上画出来，分清端点处的实心点和空心圆圈，确定两个集合间的包含关系，列不等式(组)求解参数．(参见例题)
示范例题
例题1.(解析题)已知集合A＝{x|x＜－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】因为B⊆A，
①当B＝Æ时，只需2a>a＋3，即a>3；
②当B≠Æ时，根据题意作出如图所示的数轴，
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