dqn python 程序 python dht

离散沃尔什变换（DWT）与DHT的实现思路其实是一致的，只是变换核需要经过一个变换，这里记录下原理和实现方法。

哈达玛变换核

哈达玛变换核具有递推性，也就是\(H_{2N}\)可以由\(H_{N}\)得到：

\[H_{2N}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{array}{cc} H_{N} & H_{N} \\\\ H_{N} & -H_{N} \end{array} \right] \]

哈达玛变换核的另一个特点是，变号次数乱序，以\(H_4\)为例,每行的变号次数分别如下：

\[H_4 = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ 1 &-1& 1 &-1 \\ 1 &1 &-1& -1 \\ 1 &-1 &-1 &1 \end{array} \right] \begin{array}{cccc} 0\\ 3 \\ 1 \\ 2 \end{array} \]

沃尔什变换核

沃尔什变换核可以从与哈达玛变换核间接得到，只需将DHT的变换核按变号次序递增重新排列即可

\[W_4 = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ 1 &1 &-1& -1 \\ 1 &-1 &-1 &1 \\ 1 &-1& 1 &-1 \\ \end{array} \right] \begin{array}{cccc} 0\\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \]

程序实现

生成DHT变换核

在scipy.linalg这个库中，已经实现了DHT的变换核生成，我们可以通过以下语句调用

from scipy.linalg import hadamard
H4 = hadamard(4)

生成DWT变换核

要得到沃尔什变换核，我们要先得到DHT变换核每一行的变号次数，然后按照变号次数排列，具体实现上我采用的方法如下：

1. 生成变号次数向量invTimes
   要获取H矩阵的变号次数，可以对H矩阵的每行取差分，然后取绝对值求和再除2（稍微一想就明白，这里不解释了哈），这些操作在numpy 中都有相应的函数

diffMat = np.abs(np.diff(H))/2
invTimes = np.sum(diffMat,axis = 1)

1. 对invTimes进行排序
   对invTImes这个列向量排序并不难，问题是我们要在排序时或者排序后能对H矩阵做相同的排序操作，这里我想了很久发现可以通过numpy数组的花式索引来解决
   numpy 排序方法不止一种，但我们想要的不是排序好的数组，而是排序的过程，也即是原数组每一行排序后在哪个位置，好在 ndarray 对象有 argsort() 方法能满足我们的需求，它返回的是原数组排序后的索引。

#对invTImes排序会是这样，因为argsort()返回的是索引
invTImes[invTImes.argsort()]

1. 对H矩阵做相同的排序操作
   有了以上的铺垫，我们做相同的排序就会很简单了

#用invTImes的排序方法对H矩阵的行排序
H[invTimes.argsort(),:]

以上过程封装后

def hada2wal(H):
    diffMat = np.abs(np.diff(H))/2
    invTimes = np.sum(diffMat,axis = 1)
    W = H[invTimes.argsort(),:]
    return W

效果对比

验证正确性

从结果的图来看，实现基本上是正确了，但如何确定实现正确了呢，这里用一下DWT的性质

DWT是正交变换，其变换矩阵是实正交对称阵，也就是说，其每一行做内积的结果是0，只有与自己内积时才有非零值

因此用W矩阵与其自身做矩阵乘法

得到对角阵，验证了结果是正交的，我们可以确定得到的沃尔什变换核是正确的