倒立摆状态反馈系统的建模及matlab仿真
课题名称：倒立摆状态反馈系统的建模及matlab仿真
学生姓名： 谢凯
学 号：２０１１３３０３８０２２９
班 级：电气工程及其自动化２班
指导老师：高金凤
２０１３年１２月２０日
倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、 航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。
倒立摆系统的建模
系统的物理模型
如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M，摆杆的质量为m，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为Θ，作用在小车上的水平控制力为f。这样，整个倒立摆系统就受到重力，水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。
图ａ 一级倒立摆物理模型 图ｂ 摆杆隔离受力图
系统的数学模型
在系统数学模型中,本文首先假设:
(1)摆杆为刚体;
(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦;
(3)忽略小车与导轨之间的摩擦。
然后根据牛顿第二运动定律,求得系统的运动方程为:
(1)
(2)
方程(1)，(2)是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零是合理的。则，.在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得到倒立摆系统的数学模型如下：
(3)
(4)
系统的状态方程
以摆角θ,角速度θ,小车的位移x ,速度x为状态变量,输出为y。即令:
则一级倒立摆系统的状态方程为：
；；；。
即
控制器设计及matlab仿真
极点配置状态反馈的基本原理
单级倒立摆系统是一个不稳定的连续系统，当倒立摆出现偏角后，若不给小车施加控制力，倒立摆会向左或向右倾倒。所以本文采用极点配置法设计控制器的目的都是通过调节水平力的大小来控制小车的运动，使倒立摆处于平衡位置。
极点配置的方法就是通过一个适当的状态反馈增益矩阵的状态反馈方法,将闭环系统的极点配置到任意期望的位置。考虑控制系统:
(5)
其中x是状态向量(n维向量)，u是控制信号(纯量)，选取控制信号为：
(6)
这样控制信号是由瞬时状态确定,此方法称为极点配置状态反馈法。图2为具有的闭环控制系统。
图2 状态反馈闭环控制系统
将式(6)代入式(5)得: ,该方程的解为:
式中是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应和瞬态响应特性由矩阵的特征决定。如果矩阵选取适当,则可使矩阵构成1个渐近稳定矩阵,并且对所有的 ,当t趋于无穷时,都可使趋于0。称矩阵的特征值为调节器极点。如果这些调节器极点均位于s的左半平面内,则当t趋于无穷时, 趋于0。将闭环极点配置到所期望的位置,称为极点配置问题。因而极点配置状态反馈控制器的设计最主要就是值的计算。
极点配置状态反馈控制器的设计
一级倒立摆系统是一个不稳定的系统。控制器的目的是使倒立摆系统动态稳定,即保持倒立摆在垂直的位置,使小车在外力作用下其位移以较小的误差跟随输入的变化。由于系统的动态响应主要是由他的极点位置决定的,同时容易证明一级倒立摆系统是一个能控而且能观的系统。因此本文通过极点配置状态反馈控制器来使系统保持稳定。
状态反馈控制方程为：，闭环系统的方程为：。选取所期望的闭环极点位置：μ1,μ2,μ3,μ4。
根据如下matlab程序可求得状态反馈增益K (假设小车的质量为3 kg ,摆杆的质量为0. 1 kg ,摆杆的长度为0. 5 m) ,程序如下:
M = 3 ；m = 0.1 ；l = 0.5；g =9.81；
A21 = (M + m) / M/ l*g；
A41 = - m/ M*g ；
B21 = - 1/ M/ l ；
B41 = 1/ M ；
A = [ 0 1 0 0 ；A21 0 0 0 ；0 0 0 1 ；A41 0 0 0 ] ；
B = [ 0 ；B21 ；0 ；B41 ] ；
C = [ 1 0 0 0 ；0 1 0 0 ；0 0 1 0 ；0 0 0 1 ] ；
D = 0 ；
M = [B
