断点回归非参数局部线性估计

文章目录

• 一、RDD中LATE的计算方式
• 二、 两次回归
• 三、一次回归
• 四、去中心化

一、RDD中LATE的计算方式

二、 两次回归

所谓的两次回归指的是，在断点左边和右边，根据数据样本，分别拟合一条曲线。两条曲线在断点这条直线上的截距项，作为我们想要估计的$LATE$。

断点左边这条线外层指定的函数是：$Y^0=\alpha_0^0+\beta_1^0x+\epsilon_0 \tag{1}$假设$x$表示高考得分：$Y$表示收入，处置为进入一本或不进入一本，则式中的:

1. $\alpha_0^0$指的是截距项，即不受高考得分影响的平均收入水平；
2. $\beta_1^0$指的斜率，即收入随着高考得分增长的边际价值；
3. $\epsilon_0$指的随机误差项，即模型无法完全捕捉的随机性和不确定性；
4. $Y^0$表示$x<c$(断点)的结果。

右边这条线指定的函数是：$Y^1=\alpha_0^1+\beta_1^1x+\beta_2*D+\epsilon_1 \tag{2}$式中的：

1. $\alpha_0^1$指的是截距项，即不受高考得分影响和是否上一本的平均收入水平；
2. $\beta_1^1$指的斜率，即收入随着高考得分增长的边际价值；
3. $\beta_2^1$是我们想要的$LATE$，即处置的边际价值；$\epsilon_1$指的随机误差项，即模型无法完全捕捉的随机性和不确定性；
4. $Y^1$表示$x>c$(断点)的结果。

此时$LATE$的推导如下：
$LATE = E(Y^1-Y^0|x=c)= (\alpha_0^1+\beta_1^1x+\beta_2*D+\epsilon_1)- (\alpha_0^0+\beta_1^0x+\epsilon_0) \tag {3}$
因为$\alpha_0^0$和$\alpha_0^1$都表示不受高考分数和处置影响的平均收入水平，所以：
$\alpha_0^0 = \alpha_0^1 \tag{4}$
因此，忽略掉两个误差项后：
$LATE=(\beta_1^1-\beta_1^0)*x+\beta_2 \tag{5}$
若左右两边回归函数的斜率一致，即：
$\beta_1^1 =\beta_1^0 \tag{6}$
则：
$LATE=\beta_2 \tag{7}$
否则：
$LATE=(\beta_1^1-\beta_1^0)*c+\beta_2 \tag{8}$
问题一：怎么看待回归曲线斜率不一致的问题？等我知道了再补充。🐶

三、一次回归

所谓的一次回归，指的是直接用一个函数做拟合，其实本质和上面是一样的，只是两个式子合并成了用一个式子表达：
$Y =\alpha_0+\beta_1x+\beta_2*D+\beta_3*x*D+\epsilon \tag{9}$
为什么可以写成这样呢？我们分别看下处置$D=0$和不处置$D=1$时，这个式子会变成什么样：
$Y=\begin{cases} \alpha_0+\beta_1x+\epsilon & x<c,D=0 \\ \alpha_0+\beta_1x+\beta_2+\beta_3*x+\epsilon & x>c,D=1 \\ \end{cases} \tag{10}$
上式的第一个表达式是不是和式（1）一样？就不用再解释啦。关键是第二个表达式怎么理解？第二个式子跟式（2）唯一的区别是多了一个交互项：$\beta_3*x$，这里其实是为了考虑左右两边回归曲线的斜率不一致的场景，当$\beta_3=0$时，左右两边回归曲线的斜率相等，否则不等。

此时的LATE为：
$Y^1-Y^0=(\alpha_0+\beta_1c+\beta_2+\beta_3c+\epsilon)-(\alpha_0+\beta_1c+\epsilon)=\beta_2+\beta_3c \tag{11}$

四、去中心化

所谓去中心化，就是将：
$Y =\alpha_0+\beta_1x+\beta_2*D+\beta_3*x*D+\epsilon \tag{9}$
中凡是涉及$x$的项，都用$x-c$来代替，即变成：
$Y =\alpha_0+\beta_1(x-c)+\beta_2*D+\beta_3*(x-c)*D+\epsilon \tag{12}$
这么做有什么好处呢？我们先来推导一下去中心化以后的$LATE$：
$x>c, D=1时：Y^1=\alpha_0+\beta_1(x-c)+\beta_2+\beta_3*(x-c)+\epsilon \tag{13}$
$x<c, D=0时：Y^0=\alpha_0+\beta_1(x-c)+\epsilon \tag{14}$
因此$LATE$可以表示为：
$Y^1-Y^0=\beta_2$
可以看到去中心化前后的LATE计算的表达式分别为：$\beta_2+\beta_3c$和$\beta_2$。看起来是不是很困惑？到底哪个是对的呢？其实这两个是相等的！我们将式（12）换一套字符表达：
$Y =\alpha_0^{$
然后我们再来比较下去中心化之前的式（9）：
$Y =\alpha_0+\beta_1x+\beta_2*D+\beta_3*x*D+\epsilon \tag{9}$
和去中心化之后的式（15）：
$Y =\alpha_0^{$
我们将式（15）展开可以得到：
$Y =\alpha_0^{$
可以看到：
$\alpha_0 = \alpha_0^{$
从最后一个等式可以推出：
$\beta_2^{$
因为：
$\beta_3 = \beta_3^{$
所以：
$\beta_2^{$

等式前一项是去中心化之后的$LATE$，等式的后一项是去中心化之前的的$LATE$！！！这也是为什么说去中心化理论上并不会改变计算的LATE的值。

好了，最后总结下为什么要去中心化：由于去中心化后，$LATE$只与一个估计量相关啦，相比去中心化之前的与两个估计量相关，自然估计的偏差会小一点（无偏性更好），因为多个参数估计的误差是会累积的，同时，方差也会小一点（有效性更强）。一致性我们刚刚推导过程中已经保证了。