n n矩阵python 矩阵python代码

1 引言

相似性和相异性是机器学习中重要的概念，因为它们被许多数据挖掘技术所采用，比如常见的聚类、最近邻分类和异常检测等。在很多情况下，一旦我们计算出了特征向量的相似性或相异性，我们就不在需要原始数据了。这类方法通常将数据变换到相似性（相异性）空间，然后在做数据分析。

2 定义

• 相似度(similarity): 两个对象相似程度的数值度量，两个对象越相似，它们的相似度越高；通常取值为非负的，通常介于[0,1]之间。
• 相异度(disimilarity): 两个对象差异程度的数值度量，两个对象越相似，值越低，通常取值为非负的，最小相异度为0，上界不确定。通常使用术语距离（distance）用作相异性的同义词，距离常常用来表示特定类型的相异度。 本文重点介绍常见的相异度计量函数。

3 欧式距离

欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。其计算公式如下：

代码如下：

import numpy as np
from dissimilarity__utils import *

def test_euclidean():
    eucl = lambda x, y: np.sum((x - y)**2, axis=1)**0.5
    x = np.array([0, 0])
    dA = eucl(x, yA)
    dB = eucl(x, yB).reshape(s.shape)
    plotDist(x, dA, dB, 'euclidean_distance', save=True)

其中 yA，yB的取值在 dissimilarity_utils里定义，如下：

r = 1
np.random.seed(123456)
y1A = np.random.uniform(-r, r, 8)
y2A = np.random.uniform(-r, r, 8)
yA = np.array([y1A, y2A]).T
M, N = 32j, 32j
s, t = np.mgrid[-r:r:N*8, -r:r:M*8]
yB = np.array([s.ravel(), t.ravel()]).T

上述代码运行结果如下：

4 曼哈顿距离

曼哈顿距离的计算公式如下：

代码实现如下：

def test_manhattan():
    manh = lambda x, y: np.sum(np.absolute(x - y), axis=1)
    x = np.array([0, 0])
    dA = manh(x, yA)
    dB = manh(x, yB).reshape(s.shape)
    plotDist(x, dA, dB, 'manhattan_distance', save=True)

上述代码运行结果如下：

5 切比雪夫距离

国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？自己走走 试试。你会发现最少步数总是max( | x2-x1 | , | y2-y1 | ) 步 。有一种类似的一种距离度量方法叫切比雪夫距离。其计算公式如下：

代码实现如下：

def test_chebyshev():
    cheb = lambda x, y: np.max(np.absolute(x - y), axis=1)
    x = np.array([0, 0])
    dA = cheb(x, yA)
    dB = cheb(x, yB).reshape(s.shape)
    plotDist(x, dA, dB, 'chebyshev_distance', save=True)

上述代码运行结果如下：

6 闵可夫斯基距离

闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。其计算公式如下：

代码实现如下：

def test_minkowski():
    mink = lambda x, y, p: np.sum(np.absolute(x - y) ** p, axis=1) ** (1 / p)
    x = np.array([0, 0])
    p = 2 ** -1
    dA = mink(x, yA, p)
    dB = mink(x, yB, p).reshape(s.shape)
    plotDist(x, dA, dB, 'minkowski_distance_A', ctitle=r'$p=2^{0}{2}{1}={3}$'.format('{', '}', -1, p), save=True)

上述代码运行结果如下：

我们可以设置不同的p值，进而来对比不同p值下的结果图，代码如下：

def test_minkowski_multi():
    mink = lambda x, y, p: np.sum(np.absolute(x - y) ** p, axis=1) ** (1 / p)
    x = np.array([0, 0])
    fig, axes = plt.subplots(2, 4, sharex=True, sharey=True)
    for j, axs in enumerate(axes):
        for i, ax in enumerate(axs):
            index = i + 4 * j
            exp = index - 3
            pi = 2 ** exp
            d = mink(x, yB, pi).reshape(s.shape)
            plotContour(ax, d,
                        r'$p=2^{0}{2}{1}={3}$'.format('{', '}', exp, pi),
                        fsize=8)
    figname = 'minkowski_distance_B'
    fig.suptitle(' '.join([e.capitalize() for e in figname.split('_')]))
    fig.savefig('_output/similarity_{}.png'.format(figname), bbox_inches='tight')

运行结果如下：

7 堪培拉距离

堪培拉距离可以是曼哈顿距离的加权版本，其计算公式如下：

代码实现如下：

def canb(x, y):
    num = np.absolute(x - y)
    den = np.absolute(x) + np.absolute(y)
    return np.sum(num/den, axis = 1)

def test_canberra():
    x = np.array([0.25, 0.25])
    dA = canb(x, yA)
    dB = canb(x, yB).reshape(s.shape)
    plotDist(x, dA, dB, 'canberra_distance', save=True)

上述代码运行结果如下：

8 夹角余弦距离

几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异，机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。其计算公式如下：

代码实现如下：

def coss(x, y):
    if x.ndim == 1:
        x = x[np.newaxis]
    num = np.sum(x*y, axis=1)
    den = np.sum(x**2, axis = 1)**0.5
    den = den*np.sum(y**2, axis = 1)**0.5
    return 1 - num/den

def test_cosine():
    x = np.array([1e-7, 1e-7])
    dA = coss(x, yA)
    dB = coss(x, yB).reshape(s.shape)
    plotDist(x, dA, dB, 'cosine_distance', save=True)

上述代码运行结果如下：

9 总结

本文重点介绍了机器学习领域中特征向量的相似性和相异性的计算公式，并给出了常见的距离计算公式和代码实现，同时给出了不同距离的图示，方便童鞋们直观的进行理解。