ios加解密rsa rsa 加解密

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字节小舞神 2023-08-25 15:07:34

文章标签 ios加解密rsa 算法 rsa 整除封装 文章分类 iOS 移动开发

1、RSA加密

RSA的密文是对代表了明文的数字的E次方求mod N的结果。换句话说，就是将明文和自己做E次乘方，然后将其结果除以N求余数，这个余数就是密文。

即：密文 = 明文^E mod N

只要知道E和N，就可以完成加密，因此E和N的组合{E，N}，就是「公钥」。

2、RSA解密

将密文自己做D次乘法，再对其结果除以N求余数，就可以得到明文。（解密的N和加密的N是同一个）

即：明文 = 密文^D mod N

知道了D和N，就可以完成解密，因此D和N的组合{D，N}，就是「私钥」。

3、RSA数学基础

想要使用RSA算法，就需要找到一组{E，N，D}

3.1 互质关系

如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系。

由互质关系，可以得到以下结论：

1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。
3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。
6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。

3.2 欧拉函数φ(n)

欧拉函数 φ(n) 用于计算任意给定正整数n，在小于等于n的正整数之中，有多少个数与n构成互质关系。

比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系

如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系
如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。
如：5与1、2、3、4都构成互质关系。
如果n是质数的某一个次方，则 φ(p^k)=p^k - p^k-1。因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^{(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、…、p}(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。
如：φ(8) = φ(2³) =2³- 2² = 8-4 = 4
如果n可以分解成两个互质的整数之积(n = p1 × p2)，则φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)。即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。
如：φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
因为 n=p^k1₁p^k2₂ … p^kr_r
由第4条结论得： φ(n)=φ(p^k1₁)φ(p^k2₂)…φ(p^kr_r)
由第3条结论得：φ(n)=p^k1₁p^k2₂p^k3₃ … p^kr_r（1- 1/p₁) (1- 1/p₂) … （1- 1/p_r)
即：φ(n) = n(1- 1/p₁) (1- 1/p₂) … (1- 1/p_r)