先来复习一下中学的课程:
指数函数的导数
对f(x) = ax求导:
ax右侧的那个极限似乎没有办法继续简化了,如果这个极限看作关于a的函数(之所以将极限看作关于a的函数,是因为在这个极限中,a是未知的,Δx是已知的):
函数在某一点导数的几何意义是该点处切线的斜率,所以M(a)也就是ax在x=0处切线的斜率。
如果y=2x,则
,我们仍不知道M(a)是什么,暂且作为悬念。
e
我们知道e表示自然对数的底数,暂且不管自然对数到底是什么,只知道它确实存在。e有两个性质:
1) (ex)’ = ex
2) ex在x=0的导数是1
当我们想要继续对f(kx)=2kx,k∈R求导时,根据上节的公式(2),
,这并没有解决问题,看起来更复杂了。如果已知函数某一点的导数,就能求得该函数压缩或伸展后在该点的导数,2kx仅仅是2x的压缩或伸展,在x=0处的斜率也不断向左或向右倾斜:
当k=1/M(2)时,(bx)在x=0处的导数是1,b = e,虽然暂时不知道它的值,但已经知道它确实存在。
对数的性质
自然对数的导数
自然对数是以e为底的对数,简写做ln
y=lne和y=ex互为反函数:
lnx求导
对于函数y = lnx,其反函数是ey = x,根据反函数微分法:
M(a)的真相
已经做了足够多的准备工作,是时候揭开M(a)的真相了。
在对指数函数y=ax求导时,我们得出(ax)’=axM(a)。根据对数的性质,elna = a,原函数需要使用对数进行一次变换:
根据链式求导法则,
所以,M(a) = ln(a)
指数函数的求导公式
由于已经知道了M(a),所以我们终于可以完成对指数函数的求导了。
对数函数求导公式:(ax)’ = axlna
示例:
(10x)’ = 10xln10, (2x)’ = 2x ln2
对数微分法
自然对数求导公式:(lnu)’ = u’/u,u是x的函数
根据该公式,(lnx)’ = x’/x = 1/x
示例1:(lnx)’ = x’/x = 1/x
示例2:(lnax)’ = (ax)’/ ax = (ax lna) / ax = lna
示例3:(xx)’
这个稍微复杂点,不能直接用指数函数求导法则,因为指数也是x,此时需要使用对数做一次转换。
示例4:(xn)’
根据幂函数求导公式,(xn)’ = nxn-1,现在使用对数转换对其求解:
也可以使用对数微分法求解:
示例5:(lnsecx)’
(lnsecx)’ = (secx)’/secx = secxtanx/secx = tanx
e的真相
先来看一个极限:
这下麻烦了,似乎没有办法直接求解。然而数学的魅力就在于化繁为简,化不可能为可能。暂且抛开lim,并使用对数转换(1+1/x)x :
由此得出结论:
总结
- (ex)’ = e,ex在x=0处的导数是1
- 指数函数的导数 (ax)’=axlna
- (lnx)’ = 1/x
- 对数微分法,(lnu)’ = u’/u