矩阵分解
矩阵分解算法为每个用户和物品生成一个隐向量，将用户和视频定位到隐向量空间中，距离相近的用户和视频表名兴趣点相近，就一年将距离相近的视频推荐给目标用户。
矩阵分解算法框架：
矩阵分解算法将mxn的共现矩阵R分解为mxk维的用户矩阵U和kxn维的物品矩阵V相乘的形式，其中m是用户数量,n是物品数量，k是隐向量的维度。k的大小决定了隐向量表达能力的强弱，k的取值越小，隐向量包含的信息越少，模型泛化能力越高，反之，k越大，包含的信息越大，模型的泛化能能力越小。此外，k的取值还与矩阵分解的求解复杂度直接相关。
基于用户矩阵U和物品矩阵V，用户u对物品i的预估值：
pu是用户u在用户矩阵U中的对应行向量,qi是物品i在物品矩阵V中的对应列向量。
2.3.2矩阵分解的求解过程
对矩阵分解的方法主要有三种：特征值分解、奇异值分解、和梯度下降，但是特征值分解只能用于方阵，不适用于用户-物品矩阵。
SVD分解的具体过程：
假设矩阵M是一个mxn的矩阵，则一定存在一个分解
，其中U是mxm的正交矩阵，V是nxn的正交矩阵，
是mxn的对角矩阵。取对角阵
中较大的k个元素作为隐含特征，删除
的其他维度及U和V中对应的维度，矩阵M被分解为
，至此完成了隐向量的维度为k的矩阵分解。
SVD的缺点：
1，奇异值分解要求原始的共现矩阵是稠密的，但，实际情况，用户-项目矩阵是稀疏的。如果应用奇异值分解，就必须对其进行缺失值填充。
2，传统的奇异值分解的计算复杂度达到了O(mn2)的级别，这对商品数量动辄上百万、千万的互联网几乎不可能接受。
SVD的目标函数：
SVD梯度下降求解目标函数
1，确定目标函数
2，对目标函数求偏导
结果：对qi求偏导：
对pu求偏导
3，利用2求导的结果，沿梯度的反方向更新参数：
4，当迭代达到上限n时，或者低于设定的阈值时，结束训练，否则循环第3步骤。
当矩阵分解完成分解过程后，即可得到用户和物品的隐向量。在对某用户进行推荐时，可以利用该用户的隐向量进行逐行统一內积运算，得出该用户对所有物品的评分预测，再次依次进行排序，得到最终的推荐列表。
因此矩阵分解较协同过滤有更好的泛化能力，由于隐向量的存在，使得任意的用户和物品之间都可以得到预测值，隐向量的生成其实是对共现矩阵进行全局拟合的过程，因此隐向量其实是利用全局信息生成的，有更强的泛化能力。
2.3.3消除用户和物品的打分偏差
为消除用户和物品之间存在的打分偏差则有
第一项是全局偏差，bi是物品偏差（物品i收到的所有评分的均值），bu是用户偏差（用户所有评分的均值），此时矩阵分解的目标函数为：
矩阵分解的优缺点：
优点：
1，泛化能力强，在一定程度上解决了数据稀疏的问题
2，空间复杂度低：不需要存储庞大的用户和物品的相似度矩阵，只需要存储用户和物品的隐向量。
3，更好的扩展性和灵活性：分解后得到用户和物品的隐向量，便于深度学习网络进行无缝结合。
缺点：
矩阵分解你不方便加入用户、物品和上下文相关特征，使得就还早呢分解丧失了利用很多有效信息的机会。同时缺乏对用户历史行为，无法进行有效的推荐。
