内点法属于约束优化算法。约束优化算法的基本思想是：通过引入效用函数的方法将约束优化问题转换成无约束问题，再利用优化迭代过程不断地更新效用函数，以使得算法收敛。 
内点法（罚函数法的一种）的主要思想是：在可行域的边界筑起一道很高的“围墙”，当迭代点靠近边界时，目标函数徒然增大，以示惩罚，阻止迭代点穿越边界，这样就可以将最优解“档”在可行域之内了。

数学定义

对于下面的不等式约束的优化问题： 
 
minf(x),x∈Rn
 

 
s.tgi(x)≤0,i=1,2,...,m
 

利用内点法进行求解时，构造惩罚函数的一般表达式为  

 
φ(X,r)=f(X)−r∑i=1m1gi(X)
 

或者  

 
φ(X,r)=f(X)−r∑i=1mln[−gi(X)]

算法步骤

  1. 取初始惩罚因子r(0)>0，允许误差ϵ>0；
  2. 在可行域D内选取初始点X(0)，令k=1；
  3. 构造惩罚函数φ(X,r(k))，从X(k−1)点出发用无约束优化方法求惩罚函数φ(X,r(k))的极值点(X∗,r(k))；
  4. 检查迭代终止准则：如果满足 ∥X∗r(k)−X∗r(k−1)∥≤ϵ1=10−5−10−7 或者 ∥φ(X∗,r(k))−φ(X∗,r(k−1))φ(X∗,r(k−1))∥≤ϵ2=10−3−10−4 则停止迭代计算，并以(X∗,r(k))作为原目标函数f(X)的约束最优解，否则转入下一步；
  5. 取r(k+1)=cr(k)，X(0)=X∗r(k)，k=k+1，转向步骤3。递减系数c=0.1−0.5，通常取0.1。



仿真





1 用外点法求下列问题的最优解



内点法外点法python 内点法和外点法的区别_迭代

方法一：外点牛顿法： 

clc        
 m=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);%a b为最优点坐标，f0为最优点函数值，f1 f2最优点梯度。        
 syms x1 x2 e; %e为罚因子。        
 m(1)=1;c=10;a(1)=0;b(1)=0; %c为递增系数。赋初值。        
 f=x1^2+x2^2+e*(1-x1)^2;f0(1)=1;        
 fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');%求偏导、海森元素。        
 for k=1:100 %外点法e迭代循环.        
 x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);        
 for n=1:100 %梯度法求最优值。        
 f1=subs(fx1); %求解梯度值和海森矩阵        
 f2=subs(fx2);        
 f11=subs(fx1x1);        
 f12=subs(fx1x2);        
 f21=subs(fx2x1);        
 f22=subs(fx2x2);        
 if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.001) %最优值收敛条件        
 a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f));        
 break;        
 else        
 X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';        
 x1=X(1,1);x2=X(2,1);        
 end        
 end        
 if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) %罚因子迭代收敛条件        
 a(k+1) %输出最优点坐标，罚因子迭代次数，最优值        
 b(k+1)        
 k        
 f0(k+1)        
 break;        
 else        
 m(k+1)=c*m(k);        
 end        
 end




方法二：外点梯度法： 

clc        
 m=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);         
 syms d x1 x2 e;         
 m(1)=1;c=10;a(1)=0;b(1)=0;         
 f=x1^2+x2^2+e*(1-x1)^2; f0(1)=1;         
 fx1=diff(f,'x1');         
 fx2=diff(f,'x2');        
 for k=1:100         
 x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);        
 for n=1:100         
 f1=subs(fx1);        
 f2=subs(fx2);        
 if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)         
 a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f));        
 break;        
 else        
 D=(x1-d*f1)^2+(x2-d*f2)^2+e*(1-(x1-d*f1))^2;         
 Dd=diff(D,'d'); dd=solve(Dd); x1=x1-dd*f1; x2=x2-dd*f2;        
 end        
 end        
 if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001)         
 a(k+1)        
 b(k+1)        
 k        
 f0(k+1)        
 break;        
 else        
 m(k+1)=c*m(k);        
 end        
 end



2,用内点法求下列问题的最优解





内点法外点法python 内点法和外点法的区别_内点法外点法python_02


内点牛顿法 


clc        
 m=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);        
 syms x1 x2 e;        
 m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3;        
 f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15;        
 fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');        
 for k=1:100        
 x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);        
 for n=1:100        

 f1=subs(fx1);        
 f2=subs(fx2);        
 f11=subs(fx1x1);        
 f12=subs(fx1x2);        
 f21=subs(fx2x1);        
 f22=subs(fx2x2);        
 if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)        
 a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f));        
 break;        
 else        
 X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';        
 x1=X(1,1);x2=X(2,1);        
 end        
 end        
 if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001)        
 a(k+1)        
 b(k+1)        
 k        
 f0(k+1)        
 break;        
 else        
 m(k+1)=c*m(k);        
 end        
 end