element 同态必填 同态的英文

 

1.9 同态($\text{homomorphisms}$)

同态在群和幺半群上的定义类似于同构，事实上，同构是同态的一种。

定义1.6

如果$M$和$M^\prime$是幺半群，且$\eta$是从$M$到$M^\prime$的映射，且满足两个条件：

$1. \ \eta(ab)=\eta(a)\eta(b),\ \ \ \ \ a,b\in M$

$2. \ \eta(1)=\eta(1^\prime)$

那么称$\eta$是一个同态映射。

值得注意的是，对于群上$G$到$G^\prime$的映射，只需要满足第一个条件即可是同态，因为第二个条件可以由第一个条件导出，因为$\eta(1)=\eta(1^2)=\eta(1)\eta(1)$，然后因为$\eta(1)$是$G^\prime$中的元素，一定存在逆元$\eta(1)^{-1}$，于是有$\eta(1)^{-1}\eta(1)=\eta(1)^{-1}\eta(1)\eta(1)$，于是$1^\prime = \eta(1)$。

同样值得注意的是，在幺半群$M$到$M^\prime$上的映射，如果是满射，第二个条件同样是多余的，因为可以发现在满射条件下，满足条件一，那么$\eta(1)$一定具有$M^\prime$中单位元的性质。

同态的分类

根据$\eta$是满射($\text{surjective}$)、单射（或称为内射）($\text{injective}$)或是双射$\text{bijective}$，我们可以把同态对应分为：

满同态($\text{epimorphism}$)，单同态($\text{monomorphism}$)，同构（或双同态）($\text{isomorphism}$)。

从$M$到$M$自己的映射如果满足同态，称为自同态($\color{blue}{\text {endomorphism}}$)，如果这个同态还是同构的话，称为自同构($\color{red}{\text{automorphism}}$)。

定理1.7

对于两个在幺半群上从$M$到$M^\prime$的同态映射 $\eta$ 和$\zeta$，如果对于$M$的生成元集合$S$，有$\forall s\in S,\eta(s)=\zeta(s)$，那么$\eta = \zeta$。

证明思路比较简单，证明对$M$上的每个元素$x$都有$\eta(x)=\zeta(x)$就行了。对于群的情况，同理可证。

一些容易证明的性质：同态具有传递性质。幺半群上的所有自同构组成一个对称群，称为Aut M，所有自同态组成一个自同态幺半群，称为End M。

同态基本定理

二级批注：

任何一个映射都可以根据映射值对原值定义一个等价关系。而一个同态映射，对应的是一个同余的等价关系，也就对应了原群的一个正规子群： $\ker \eta$ 是同态映射到$1^\prime$的所有原像的集合，也就是原群中的一个正规子群。这个子群的商群$\iff$等价类群。

根据$M$到$M^\prime$的同态$\eta$，我们可以构建$M$上的等价关系$E_\eta$（$\forall a,b\in M,(a,b)\in E_\eta\iff \eta(a) = \eta (b)$），容易证明这个关系是同余关系，因此我们可以构建商幺半群$\bar{M}=M/E_\eta$。于是我们又有了从$M$到$\bar M$的自然映射$\nu:\ \forall x\in M, \nu(x)=\bar x$ 。并且建立$\bar M$到$M^\prime$的映射$\bar\eta : \forall x\in M ,\bar x \in \bar M , \bar \eta (\bar x) = \eta(x)$ ，在这些映射中，$\nu$是满的。注意，在幺半群上， $\bar \eta$

理解上，我们可以看作，$\bar M$是$M$根据$\eta$这个同态映射搞出来的等价类的幺半群，同态映射到相同元素上的元素被归到一个类别中去了，就好像一种状态的整合压缩。

另外，我们定义$\eta$的核$(\text{kernel})$为$\eta^{-1}(1^\prime)$，用$K$或者$ker \ \eta$表示。可以理解为同态映射到$1^\prime$的元素的集合。

这个定理在群上，也是类推的。

如果$G，G^\prime$是群，$\eta$是$G$到$G^\prime$的满同构，记$K=ker \ \eta$，那么$K$是$G$的正规子群，有自然映射$\nu(x)=xK=Kx,\ \ x\in G$，那么有同构映射$\bar \eta : \ \ \bar\eta (xK) = \eta (x)$。

可以证明，在群上的时候，有着更好的性质，如果 $\eta$ 是满的，则 $\bar \eta$

书中的三角形：对于满同态，$G/\ker \eta$到$G^\prime $形成自然而然的同构。

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1.10 两个同构基本定理

第一同构定定理：

$K$是群$G$的正规子群，$H$是包含$K$的群并且$H$是$G$的子群，那么有$\bar H=H/K$是$\bar G=G/K$的子群。并且在给定$G,K$的情况下，对于每一个这样的$H$，可以建立映射 $H\to \bar H$，这是一个双射。

并且有：$H$是$G$的正规子群$\iff$$\bar H$是$\bar G$的正规子群。

并且$G/H$同构于$\bar G /\bar H=\frac{G/K}{H/K}$

这样一个定理，直白来说，就是：正规子群$K\trianglelefteq G$，考虑这样的每一个$H$：$K\trianglelefteq H\le G$，$H$和$H/K$建立映射，那么当$H \trianglelefteq G$的时候，$G/H$同构于$\bar G /\bar H=\frac{G/K}{H/K}$。

证明思路：

先证明$\bar H \le \bar G$：首先$\forall \bar h \in \bar H$有$\bar h = hK$，根据商群的运算规则$(aK)(bK)=abK$，可以很容易的根据子群的定义去证明。$H\to \bar H$的双射证明，先证单，再证满。正规子群的等价性易证，下面考虑同构的证明：

$G/H$中的元素形如$aH$，我们自然而然把它映射到$\bar G/\bar H$中的$\bar a\bar H=(aK)(HK)=(aK)(H)$。也就是说我们需要证明$aH \to \bar a \bar H$是双射。我们考虑一个同态$\eta :\forall g\in G,\eta(g)= \bar g \bar H$，这显然是一个满同态，而且这个同态的$\ker \eta = \bar H =HK=H$，所以根据同态基本定理，$gH \to \bar g \bar H$是一个同构。

第二同构定理：

$K$是群$G$的正规子群，$H$是$G$的子群，那么有$HK$是G的子群（另外，显然有$HK$是包含$K$的）。

并且$H\cap K$是$H$的正规子群。

并且映射：$hK\to h(K\cap H),\ h\in H$是从$HK/K$到$H/(K\cap H)$的同构。

证明思路：

先证明$HK \le G$：也就是证明$hk,k\in K,h\in H$的运算满足子群的性质，封闭且存在逆元，利用$K$正规子群的性质，就能很容易证明。（书上有个很精妙的封闭性证明，先利用$K$的正规证明$HK=KH$，然后说明$(HK)^2=HKHK=HHKK=HK$）

再证明$H\cap K$是$H$的正规子群：我们知道一个群同态的 $\ker$ 是原群的一个正规子群。因此考虑从$H$到$HK/K$的一个同态 $\eta(h) = hkK =hK$ ，分析 $\ker \eta$ ，$\forall h\in \ker \eta,满足hkK=K$，所以 $hK=K,h\in K$ ，而$h\in H$，所以$h\in H \cap K$ ，反之同理，易证$\ker \eta = H\cap K$ 。那么自然 $H\cap K$ 是 $H$

上面这个同态的定义非常好，因为根据同态基本定理，我们由 $\eta$ 是满的可以直接得到 $H/(H\cap K)$ 到 $HK/K$

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1.12 群在集合上的作用

作用及其等价

群$G$在集合$S$上的作用， $\forall g\in G$ 都有 $g \to f$ ， $f \in \text{Sys}\ S$ 。也就是把群元素映射到了集合 $S$ 的置换群上，并且这个映射是同态，且有群单位元映射到单位置换上。作用通常用上述的映射表示，用$T$表示。

忠实的作用： 如果 $G$ 上不同的元素对应的置换也不同，则是忠实的作用，换句话说，能映射到单位置换的 $g\in G$ 仅有单位元 $g=1\in G$

群 $G$ 分别到集合 $S$ 和 $S^\prime$ 上的两个作用 $T$ 和 $T^\prime$等价，当且仅当
$\exist 双射\alpha:S\to S^\prime, \ \forall g\in G,\ \forall x \in S,\ 有 \ T^\prime(g)(\alpha(x)) = \alpha(T(g)(x))$
也就是说，从 $S$ 里的元素出发，先射到 $S^\prime$ 再作用 $T^\prime$ ，和先作用 $T$ 再映射到 $S^\prime$

也可以写作： $T^\prime (g)\cdot \alpha = \alpha \cdot T(g)$

在表达时，通常为了简便，群元素 $g$ 对集合某个元素 $x$ 的作用结果直接用 $g\cdot x$ 表示，实际上完整表达应该是 $T(g)(x)$

作用的轨道

集合 $Gx$ 表示的是 $\{g\cdot x|g\in G\}$ ，也就是 $G$ 作用下 $x(\in S)$ 所在的轨道。轨道中的元素在 $G$

可迁的作用： 如果 $G$ 对 $S$

稳定化子：

稳定化子的定义是基于 $S$ 中的某一特定元素来说的。
$\forall x\in S,\ \text{stab} \ x = \{g\ |\ g\in G \ ,\ g\cdot x = x \}$

稳定化子一定是 $G$

定理： 取 $x\in S$ ，令 $H = \text{stab} \ x$ ，那么 $G$ 在 $S$ 上的作用等价于 $G$ 在 $G/H$

要证明这个，首先想到构建 $G/H$ 到 $S$ 的双射 $\alpha: \alpha (gH) = gH \cdot x =g \cdot x$ 这里我们可以看出来，在 $G/H$ 上每一个陪集的所有元素作用在 $x$

现在利用 $\alpha$

即证：
$\forall g\in G,\ \forall kH\in G/H,\ \alpha (g\cdot kH) = g\cdot \alpha(kH)$
显然：
$\alpha (g\cdot kH) = \alpha ((gk)H) = (gk) \cdot x = g\cdot k\cdot x =g\cdot \alpha(kH)$
得证。

由此我们知道了一个重要的结论： 当作用可迁的时候，上面的 $\alpha$ 是满射，而 $G/H$ 上的每个陪集 $gH$ 映射到 $S$ 上的一个元素 $g \cdot x$。所以 $S$ 上的元素个数和陪集个数相等，于是得到 $|S| = \frac{|G|}{|\text{stab} \ x|}$ 。 这一结论通常用来研究集合 $S$

而且我们可以发现，同轨道上的 $x,y$ ，他们的稳定化子同基，事实上他们之间可以构建映射，若 $y = g\cdot x$ ， 那么 $\text{stab}\ y = g \cdot \text{stab}\ x \cdot g^{-1}$。

那么当 $G$ 在 $S$ 上的作用不可迁的时候，我们把 $S$ 划分成多个轨道， $G$

$|S| =\sum\limits_{i}^{}|O_i|= \sum\limits_{i}^{}[G:\text{stab}\ x_i]$

群上的共轭作用

这个结论中 $S$ 只是一个集合，进一步当 $S$ 就是群 $G$ 本身的时候，并且把作用定义为共轭作用 $(g \cdot x=gxg^{-1} )$。我们能够得到一些更好的性质。

首先值得提出的是，在共轭作用下， $\forall x\in G$ ，$\text{stab}\ x =c(x)$ ，其中 $c(x)$ 表示的是在 $G$ 中 $x$ 的中心化子，也就是 $\{g\ |\ g\in G \ , \ gx=xg\}$

那么直接迁移上面的性质，得到群的元素个数定理：
$|G| =\sum\limits_{i}^{}|O_i|= \sum\limits_{i}^{}[G:c(x_i)]$
进一步我们知道群 $G$ 的中心 $C$ 具有性质：$\forall x\in C, \forall g\in G,gxg^{-1}=x$ ，也就是说 $c(x)=G$ ，$C$ 上的每个元素独自处于 $G$ 自己共轭作用的一个轨道上，$[G:c(x)]=1$，不妨把它们单独列出来，得到：
$|G| = |C| + \sum\limits_{i}^{}[G:c(y_i)] ,\ \ \ (c(y_i) \ne G)$
这个式子在群元素计数、讨论子群等问题上非常有用。

TODO: 本原作用的相关内容

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Sylow定理

引言部分

对于循环群 $G$ 我们知道， 对任何一个 $|G|$ 的因子 $k$ ，都存在 $G$ 的子群 $H$，满足 $|H|=k$。

但是对于一般群并没有这个结论，其中一个经典反例就是交错群 $A_4$ ， $|A_4|=12$ 但是没有 $6$

那么对于一般群来说，哪些阶的子群是一定存在的呢？这就和 $\text {Sylow}$

在此之前我们先证明一个 $\text {Cauthy}$

Cauchy 定理

在阿贝尔有限群 $G$ 中，如果质数 $p$ 是 $|G|$ 的因子，那么一定存在 $a\in G, \ |{\small <}a{\small >}|=p$

换句话说，就是有限阿贝尔群对每一个质因子都包含至少一个循环子群，其阶数等于这个质因子。

证明：

采用数学归纳法，对 $|G|$

考虑取 $a\ne 1,a\in G$，那么一定有 $|{\small <}a{\small >}| > 1$，且是 $|G|$

如果 $p$ 整除 $|{\small <}a{\small >}|$ 的话，令 $|{\small <}a{\small >}|=s=rp$ ，那么 $a^{rp}=1$，$(a^r)^p =1$，那么 ${\small <}a^r{\small >}$ 就是 $p$

如果 $p$ 不整除 $|{\small <}a{\small >}|$ 的话，因为 $G$ 是阿贝尔群，因此 ${\small <}a{\small >}$ 是 $G$。考虑商群 $G/{\small <}a{\small >}$ ，因为这个商群的阶数小于 $|G|$ 且也是被 $p$ 整除的，由归纳假设，存在 $b{\small <}a{\small >} \in G/{\small <}a{\small >}$ ， $b{\small <}a{\small >}$ 的阶是 $p$ ，也就是说 $\exist b\in G$ ，$b^p {\small <}a{\small >} = {\small <}a{\small >}$，注意，这并不意味着 $b^p =1$ ，这只能说明 $b^p \in {\small <}a{\small >}$ ，然而这足以说明$\exist r \in \Z ，b^{rp} = 1$ ，所以我们有 ${\small <}b^r{\small >}$ 是 $p$

证毕。

补充一些显然的性质：

• 质数阶的群一定是循环群。
• 阿贝尔单群 $\iff$

Sylow第一定理

假设$|G|$有限，且质数 $p$ 满足 $p^k(k\ge 0)$ 是 $|G|$ 的因子，那么存在群 $H \leq G$ 且 $|H| = p^k$。

还是用归纳法，对 $|G|$

考虑 $G$ 到自己的共轭作用，我们知道：
$|G| = |C| + \sum\limits_{i}^{}[G:c(y_i)] ,\ \ \ (c(y_i) \ne G)$
当 $|C|$ 不是 $p$ 的倍数的时候，必然存在 $j$ ，使得 $[G:c(y_j)]=\frac{|G|}{|c(y_j)|}$也不是 $p$ 的倍数。那么 $|c(y_j)|$ 就一定是 $p^k$ 的倍数，而且因为 $c(y_j)\ne G$ ，有 $c(y_j) \le G$ ，那么根据归纳假设，存在 $H\le c(y_j) \le G$ ，满足 $|H| = p^k$。

当 $|C|$ 是 $p$ 的倍数的时候，因为 $C$ 本身是一个有限阿贝尔群，因此根据 $\text{Cauchy}$ 定理， $\exist c\in C$， $|{\small <}c{\small >}|=p$，而且显然 ${\small <}c{\small >}$ 是 $G$ 的一个正规子群。考虑 $G/{\small <}c{\small >}$ ，这个商群的阶小于 $|G|$ 能被 $p^{k-1}$ 整除，由归纳假设，存在一个子群 $K \leq G/{\small <}c{\small >}$ ，$|K|=p^{k-1}$。由同构第一基本定理我们知道，因为${\small <}c{\small >}$ 正规， $G/{\small <}c{\small >}$ 中的子群和包含 ${\small <}c{\small >}$ 的 $G$ 的子群形成双射，也就是说 $\exist H, \ {\small <}c{\small >} \trianglelefteq H \leq G$ ，满足 $K = H/{\small <}c{\small >}$，那么 $|H| = |K||{\small <}c{\small >}|=p^k$

证毕。

由这个定理，我们可以定义 $\text{Sylow p-}$子群 的概念，那就是 $G$ 的 $p^k$ 阶子群，$k$ 是 $|G|$ 的质因数分解中质数 $p$

Sylow 第二定理

一些前置内容

考虑群 $G$ 对其子群集合的共轭作用。$\forall g\in G ,\forall H \le G,\ \ g\cdot H = gHg^{-1}$。显然， $gHg^{-1}$ 也是 $G$

在这样的作用之下有哪些值得探讨的东西呢？考虑某个 $H$ 的稳定化子：
$\text{stab} \ H = \{g\ | \ gHg^{-1} = H\}=\{g\ | \ gH = Hg\}$
我们把 $\text{stab} \ H$ 称为 $N(H)$ ，即 $H$ 的正规化子，有 $H\trianglelefteq N(H) \leq G$ ，并且在$G$的所有子群中， $N(H)$ 是以 $H$

引理

$P$ 是群 $G$ 的一个 $\text{Sylow p-}$子群 ，如果 $H \le N(P)$ ，且 $|H|=p^j$ 那么必有 $H \le P$。

这个引理在后面非常重要。这个引理说明了在 $N(P)$ 之内所有的 $p$ 的幂次阶的子群都被 $P$ 包含了，事实上，也就说明了在 $N(P)$ 之内，有且仅有一个 $\text{Sylow p-}$子群 。

证明：

因为 $P$ 是 $N(P)$ 的一个正规子群， $H$ 是 $N(P)$ 的一个子群，那么利用同构第二定理，可以知道:
$HP/P \cong H/(H \cap P)$
也就是说，商群 $HP/P$ 的阶等于商群 $H/(H\cap P)$ 的阶， 因为 $|H| = p^j$ ，所以后者的阶必然也是 $p$ 的一个整数幂次，不妨令 $|H/(H\cap P)| = p^i$，那么也就有 $|HP/P|=\frac{|HP|}{|P|}=p^i$

那么就有 $|HP|=p^i |P|$，因为 $P$ 是 $G$ 的一个 $\text{Sylow p-}$子群 ，不可能存在某个子群的阶的 $p$ 的幂次超过 $P$ 的。所以 $i=0$，所以 $HP = P$ ，$H\le P$。

证毕。

Sylow 第二定理

（1）有限群的任何两个 $\text{Sylow p-}$子群 是共轭的，也就是说， $\forall P_1, P_2$ 是 $G$ 的 $\text{Sylow p-}$子群 ，那么 $\exist a\in G, \ P_2 =aP_1 a^{-1}$。

（2）$P$ 是 $G$ 的 $\text{Sylow p-}$子群 ， $G$ 的 $\text{Sylow p-}$子群 的个数是 $[G:P]$ 的因子，且该个数 $\equiv 1 \pmod p$

（3）$G$ 的任何一个 $p^j$ 阶的子群都被包含在 $G$ 的一个 $\text{Sylow p-}$子群 中。

证明：

首先我们考虑所有的 $G$ 的 $\text{Sylow p-}$子群 组成的集合 $\Pi$ ，考虑 $G$ 在 $\Pi$ 上的共轭作用，容易知道这是一个作用因为 $\text{Sylow p-}$子群 共轭之后得到的子群的阶还是 $p^m$

现在我们考虑该作用下的任意一个轨道 $\Sigma$ ，并且考虑该轨道中的任意一个 $\text{Sylow p-}$子群 $P$ （也就是说，这个轨道可以看作 $\Sigma=G\cdot P$

然后，把这个轨道 $\Sigma$ 看成一个集合，让群 $P$ 作用在 $\Sigma$ 上（书上把这个叫做把 $G$ 在 $\Sigma$ 上的作用 限制在群 $P$ 上），考虑这个作用下的轨道。我们称这些轨道为 $P-$轨道 。

接着，我们说明所有的 $P-$轨道 中有且仅有一个基数为 $1$ 的轨道，而且这个轨道里的唯一元素就是 $P$ 显然，$P$ 对自己的共轭作用之后仅能得到 $P$ ，因此轨道 $\{P\}$ 的存在性得证。然后证明唯一性，假设存在 $P^\prime \in \Sigma$ ，且在 $P$ 的作用下 $P^\prime$ 自己形成一个轨道。那么有 $P \cdot P^\prime = P$ ，即 $\forall a\in P,\ aP^\prime a^{-1} = P^\prime$，有 $a\in N(P^\prime)$（注意，这里以及之后的 $N(P^\prime)$ 均表示子群在 $G$ 作用下的的正规化子），所以有 $P \le N(P^\prime)$ ，由上面的引理知道，这说明 $P=P^\prime$，于是唯一性得证。

利用这个性质，我们反观我们考虑的这个 $\Sigma$

由群在轨道上可迁作用的性质可以知道， $P$ 作用在集合 $\Sigma$ 上，得到的所有轨道，这些轨道的基都是 $p$ 的整数次幂（$|O_i| = \frac{|P|}{|\text {stab}\ x_i|}$）。而又只有一个轨道的基是 $1$ ，所以说， $|\Sigma| \equiv 1 \pmod p$。

接下来我们说明，$G$ 作用在 $\Pi$ 上有且仅有一个轨道，也就是说 $\Sigma= \Pi$。

假设不止一个轨道，我们先取一个轨道 $\Sigma$ ，然后取 $P\in \Pi ,\ P\notin \Sigma$，然后把 $\Sigma$ 看成一个集合，考虑群 $P$ 作用在 $\Sigma$ 上形成的这些 $P-$轨道 。可以与上面同理说明，这种情况下的 $P-$轨道中没有基为 $1$ 的了，因为如果有，我们可以说明这个轨道中的元素等于 $P$ ，但是 $P\notin \Sigma$ ，产生矛盾。 既然没有基为 $1$ 的轨道 ，其余轨道的基又都是 $p$ 的正整数次幂，那么可以得出 $|\Sigma| \equiv 0 \pmod p$

因此， $G$ 对 $\Pi$

好了，根据上面已经证明出的性质，我们可以快速证明Sylow第二定理了：

先证（1）

因为 $G$ 对 $\Pi$ 的共轭作用只有一个轨道，因此 $\forall P_1, P_2\in \Pi,\ G\cdot P_1 = G\cdot P_2$ ，那么 $\exist a\in G, \ P_2 =a\cdot P_1 =aP_1 a^{-1}$。

再证（2）

因为 $G$ 对 $\Pi$ 的共轭作用只有一个轨道，所以 $|\Pi| = [G:N(P)]$，而：
$[G:N(P)][N(P):P]=[G:P]$
所以， $|\Pi|$ 是 $[G:P]$

最后证(3)

对任意一个 $H \le G,\ |H| = p^k$ ，考虑 $H$ 对 $\Pi$ 的作用，显然得到的这些 $H-$轨道们的基都是 $p$ 的整数次幂。而我们又知道 $|\Pi| \equiv 1\pmod p$，所以必然有单元素轨道 $\{P\}$，因为 $H\cdot P =P$，所以 $H \in N(P)$ ，所以根据上面预先证明的引理有 $H\le P$，证毕。

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小结

一点感想：

群的作用从广义的定义来说比较简单，但当它落在几个实际意义上之后衍生出了很多性质。

考虑群到自己元素的共轭作用，这时稳定化子变成了中心化子。

考虑群到子群的共轭作用，这时稳定化子变成了正规化子。再结合同构基本定理，能够证出Sylow定理。

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一些结论的补充

• 若群 $G$ 中， $H\le G$ ， $K\le G$ ，则有 $|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}$ 。可以用轨道稳定化子定理，考虑 $H$ 在 $HK/K$