拉格朗日乘法 python 拉格朗日乘法怎么解

拉格朗日乘子法的通俗理解

• 1. 举例
• 2. 求偏导
• 3. 拉格朗日乘子法
• 4. 乘子

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1. 举例

这里举个简单的例子吧

在家里做蛋糕，假如只计算鸡蛋和牛奶的价格

其中鸡蛋的价格为4.5￥/斤，牛奶为12￥/升，而预算刚好是20￥

那么就有：

经过分析，蛋糕的总量跟两种原材料（x₁，x₂）具有如下关系：

那么最少能做多少蛋糕

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2. 求偏导

在 线性最小二乘法的通俗理解 中提到极值点可以通过求偏导来实现
函数 $f$(x₁，x₂) 对x₁，x₂分别求偏导，那么得出的结论是：x₁，x₂都为0的时候最小

单独看这个函数，这个结论对的，
但问题是它不满足预算为20的限制条件

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3. 拉格朗日乘子法

拉格朗日想到 既然 $h$(x₁，x₂) = 0
那函数 $f$(x₁，x₂) 是否可以加上这个$h$(x₁，x₂)再乘以一个系数也应该不变
任何数乘以0当然是0，$f$(x₁，x₂) 加上0当然保持不变

所以其实就可以等同于求下面这个函数的极值：

对x₁，x₂以及 λ 分别求偏导：

解上面的方程组得到 x₁=0.8889，x₂=1.3333

然后代入 $f$(x₁，x₂) 即可

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4. 乘子

这里为什么要多加一个乘子λ呢
试想一下，如果 λ 是个固定的数（比如1），也能通过上面的前两条方程式求解得到x₁，x₂
但是就得不到第三条方程式，其实也就是没有 约束条件 了

在求偏导（极值点）以后，还能保留原有的约束条件
把约束条件带进来，跟求其他变量的偏导结果放在一起
既能满足约束条件，又能保证是约束条件下的极值

当然这是一个约束条件的情况，如果有多个约束条件呢？
那就要用多个不同的 λ，正如最上面的那个定义那样，把这些加起来（这些0加起来也是0）

最优问题，这个思维很重要，求 条件极值 转化为求 函数和条件 的极值

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谢谢！