一、LCS(最长公共子串)python实现
LCS问题就是求两个字符串最大相同的公共子串；我们现假设有两个字符串X,Y。其长度分别为m,n
我们从X,Y两个字符串的最后一个字符串开始看起
如果 Xm = Yn:
LCS(X, Y) = LCS(Xm-1, Yn-1)+ "Xm"
如果Xm ！= Yn：
LCS(X,Y) = max(LCS(Xm-1,Yn), LCS(Xm, Yn-1))
我们即构建了这样的动态转移方程。如果还不是特别明白，我们来看以下例子。
有了上述的动态转移方程，我们该如何编写代码呢？
我们采用递归加备忘录的方式，基于刚刚的动态转移方程我们设置一个二维数组用来
存放当前最长的公共子串。我们可得到以下递推式。
对于下列两个字符串，其产生的二维数组如下。
因此，我们只需对该二维数组进行遍历即能得到一个结果，若有多个，
需要对该二维数组进行深度优先遍历。我们这里只考虑一种情况。
从两个字符串最后一个字符开始看起，
如果相等的话，则它的值来至与他在该数组的左上方，否则则来自它的左方或上方
具体代码实现如下：
def max_common_s(s1, s2):
chart = [[0 for i in range(len(s1)+1)]for j in range(len(s2)+1)] #建立一个二维数组
for i in range(1, len(s2)+1):
for j in range(1, len(s1)+1):
if s1[j-1] == s2[i-1]: #如果对应的两个值相等，则其左上方的值加1
chart[i][j] = chart[i-1][j-1]+1
else:
chart[i][j] = max(chart[i-1][j], chart[i][j-1]) #要是不相等，则取其右方或上方的最大值
return chart
def find_one(chart, s1, s2):
max_str = ''
i = len(s1)
j = len(s2)
while i > 0 and j > 0:
if s1[i-1] == s2[j-1]: #若最后一个字符相等，则一定来自于左上方
max_str += s1[i-1]
i -= 1
j -= 1
else:
if chart[j][i-1] > chart[j-1][i]: #若左边的数字较大，则来自左边
i -= 1
else: #否则来自上方
j -= 1
return reversed(max_str) #逆序输出
if __name__ == '__main__':
s1 = 'ABCasdasd'
s2 = 'ADCsadsadsad'
chart = max_common_s(s1, s2)
print(''.join(list(find_one(chart, s1, s2))))《1》最长公共子序列（LCS）与最长公共子串(DP)
二、其他资料：最长公共子序列（LCS）与最长公共子串(DP)
1. 问题描述
子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串
- cnblogs
- belong
比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs,belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。
2. 求解算法
对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS与最长公共子串。
暴力解法
假设 m<n， 对于母串X，我们可以暴力找出2的m次方个子序列，然后依次在母串Y中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级O(n∗2的m次)。显然，暴力求解不太适用于此类问题。
动态规划
假设Z=<z1,z2,⋯,zk>是X与Y的LCS， 我们观察到
如果Xm=Yn，则Zk=Xm=Yn，有Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS；
如果Xm≠Yn，则Zk是Xm与Yn−1的LCS，或者是Xm−1与Yn的LCS。
因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。
DP求解LCS
用二维数组c[i][j]记录串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的LCS长度，则可得到状态转移方程
由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：当xm=yn时，找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的一个最长公共子序列。当xm≠yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。
在算法LCS中，每一次的递归调用使i或j减1，因此算法的计算时间为O(m+n)。
例如，设所给的两个序列为X=<A，B，C，B，D，A，B>和Y=<B，D，C，A，B，A>。由算法LCS_LENGTH和LCS计算出的结果如下图所示：
代码实现
[cpp] view plain copy
1. public static int lcs(String str1, String str2) {
2. int len1 = str1.length();
3. int len2 = str2.length();
4. int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
5. for (int i = 0; i <= len1; i++) {
6. for( int j = 0; j <= len2; j++) {
7. if(i == 0 || j == 0) {
8. c[i][j] = 0;
9. } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
10. c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
11. } else {
12. c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
13. }
14. }
15. }
16. return c[len1][len2];
17. }DP求解最长公共子串
前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c[i][j]用来记录具有这样特点的子串——结尾同时也为为串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的结尾——的长度。
得到转移方程：
最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}。
代码实现
[cpp] view plain copy
1. public static int lcs(String str1, String str2) {
2. int len1 = str1.length();
3. int len2 = str2.length();
4. int result = 0; //记录最长公共子串长度
5. int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
6. for (int i = 0; i <= len1; i++) {
7. for( int j = 0; j <= len2; j++) {
8. if(i == 0 || j == 0) {
9. c[i][j] = 0;
10. } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
11. c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
12. result = max(c[i][j], result);
13. } else {
14. c[i][j] = 0;
15. }
16. }
17. }
18. return result;
19. }
3. 参考资料
[1] cs2035, Longest Common Subsequence.
[2] 一线码农, 经典算法题每日演练——第四题 最长公共子序列.
[3] GeeksforGeeks, Dynamic Programming | Set 29 (Longest Common Substring).
