幂函数的拟合r语言

1 幂函数的定义域

【引理】 设幂函数$f(x)=x^\alpha(\alpha\in R)$ 的定义域为$D_\alpha$，则

（1）当 $\alpha = 0$，$D_\alpha=\{x|x\neq 0\}$，且此时$x^0=1$；

（2）当 $\alpha$ 是非零有理数时，可设 $\alpha=\frac{p}{q}$ ($|p|,q\in N^*$，$p$与$q$互质)，有：（以下约定$\sqrt[1]{a}=a,a\in R$）

【注】$q=1$时表示非零整数的情况

（3）当 $\alpha$ 是正无理数时，$D_\alpha=[0,+\infty$）；当$\alpha$是负无理数时，$D_\alpha=(0,+\infty)$.

2 幂函数导数公式的推导

1. 当 $\alpha \in N$ 时：
   （1）$\alpha = 0$
     当$\alpha = 0$ 时，$D_\alpha = \{x| x\neq 0\}$，$f(x)=1$，$f$.
   （2）$\alpha\in N^*$
     (i) $\alpha=1$：$f$；
     (ii) $\alpha \geq 2$：根据恒等式 $a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+ab^{n-1}+b^n),n\in N^*$（可用多项式乘法法则证明该等式）,可得：
   $\begin{aligned} f$
2. 当 $-\alpha \in N^*$时：
   此时$D_\alpha=\{ x|x\neq 0\}$，
   根据之前的结论，当$\alpha\in N^*$时，有$(x^\alpha)$，
   现在$-\alpha \in N^*$，有$f$，
   根据复合函数的求导法则，
   $f$
   $\alpha\in Z$
3. 当 $\alpha \in Q$ 且 $\alpha \notin Z$时：
   （1）先求得 $\alpha = \frac{1}{n}(n-1\in N^*)$ 时结论成立：
     (i)当$n=2k(k\in N^*)$时，$D_\alpha = [0,+\infty)$.
   当 $\alpha < 1$ 时，$f$，所以$f$不存在；
   当 $x>0$ 时，根据恒等式 $a^{n+1}+b^{n+1}=(a-b)(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+ab^{n-1}+b^n),n\in N^*$（可用多项式乘法法则证明该等式）
   $\begin{aligned} f$
     (ii)当$n=2k+1(k\in N^*)$时，$D_\alpha =R$.
   由上一步的结论，当$\alpha<1$时，$f$不存在；当$x\neq 0$时，由$a^{n+1}+b^{n+1}=(a-b)(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+ab^{n-1}+b^n),n\in N^*$可得
   $\begin{aligned} f$
   （2）设 $\alpha =\frac{p}{q} \ (|p|,q-1\in N^*$，p 与 q 互质）（这里与之前【引理】的 $q\in N^*$不一样是因为我们已将$\alpha\in Z$的情况讨论完了）
   $q$ 是正偶数且 $p$ 是正奇数且 $p>q$ 时，$D_\alpha=D_{\frac{p}{q}}=[0,+\infty)$. 当 $\alpha>1$ 时，$f$；$\alpha = \frac{p}{q}>1$，所以 $f$. 当$x>0$,由开始的结论$\alpha\in Z$和$\alpha=\frac{1}{n}(n-1\in N^*)$时结论成立，在根据复合函数的链式求导法则，就有：
   $f$
   可得$f$
   $q$ 是正偶数且 $p$ 是正奇数且 $p<q$ 时，$D_\alpha = D_\frac{p}{q} = [0,+\infty)$. 当 $\alpha<1$ 时，$f$ 不存在；$\alpha = \frac{p}{q}<1$，所以 $f$不存在；当$x>0$, 由开始的结论 $\alpha\in Z$和$\alpha=\frac{1}{n}(n-1\in N^*)$时结论成立，在根据复合函数的链式求导法则，就有：
   $f$
   可得$f$.
   $q$ 是正偶数且$p$是负奇数时，$D_\alpha = D_{\frac{p}{q}}=(0,+\infty)$. 由开始的结论 $p$是正偶数,$q$是正奇数时结论成立，再根据复合函数的链式求导法则，就有：
   $f$
   可得$f$.
   $q$ 是奇数且 $p>q\geq 3$ 时，$D_\alpha = D_{\frac{p}{q}}= R$. 同之前的结论 $f$；当$x\neq 0$时，由 1 和 (1)可得
   $f$
   可得，$f$
   $q$是奇数且 $p\in N^*, p<q, q\geq 3$ 时，$D_{\frac{p}{q}}=R$.由之前的结论$f$不存在；当$x\neq 0$时，和(v)一样的推导得$f$
   可得$f$.
   $q$是奇数且 $q\geq 3, -p\in N^*$时，$D_{\alpha}=D_{\frac{p}{q}}=\{x|x\neq 0\}$.根据(iv)和(v)，有：
   $f$
   可得$f$.

$\alpha \in Q$到这里就全部推导完了.

4. 当 $\alpha$
   （1）当 $\alpha$ 是正无理数时，$D_\alpha = [0,+\infty)$.
   （i）当$\alpha$是大于1的无理数时，根据开头的结论$f$；当$x>0$时，由导数公式$(log_ax)$，$(a^x)$(这两个公式的推导见同系列的其它文章）及复合函数的求导法则
   $f$
   可得，$f$.
   (ii) 当 $\alpha$是小于1的无理数时，根据开头的结论$f$不存在;当$x>0$时，由导数公式$(log_ax)$，$(a^x)$(这两个公式的推导见同系列的其它文章）及复合函数的求导法则
   $f$
   可得，$f$.
   （2）当$\alpha$是负无理数时，$D_\alpha =(0,+\infty)$.
   由导数公式$(log_ax)$，$(a^x)$(这两个公式的推导见同系列的其它文章）及复合函数的求导法则
   $f$
   可得，$f$.
   $\alpha \in R$到这里就讨论完了。