determinants(行列式)
elimination(消元法)
通过消元法我们可以知道一个矩阵什么时候是好的矩阵,什么时候是坏的矩阵
x+2y+z=2
x
+
2
y
+
z
=
2
3x+8y+z=12
3
x
+
8
y
+
z
=
12
4y+z=2
4
y
+
z
=
2
⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥ [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ]
矩阵的本质就是方程组
第一行第一列的1 称为主元(pivot)
第一行不变,因为他是主元行
⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥
[
1
2
1
0
2
−
2
0
4
1
]
下一步要将(3,1)3行1列的位置变为0,这里已经是0了,所以不需要再变换
找寻下一主元,它在(3,2)的位置,然后重复上一个步骤
⎡⎣⎢1002201−15⎤⎦⎥
[
1
2
1
0
2
−
1
0
0
5
]
这个就是消元的结果,记做U,U表示上三角矩阵(upper triangular).
消元的目的就是将矩阵从A变换成U
在这个过程中我们找到了三个主元,主元不能为0
坏矩阵,失效矩阵,指的是不能得到三个主元.
如果一行的主元为0,我们可以通过行变换,和下面的方程调换位置.
如果得不到三个主元,矩阵就不可逆比如将上面的方程换成
x+2y+z=2
x
+
2
y
+
z
=
2
3x+8y+z=12
3
x
+
8
y
+
z
=
12
4y−4z=2
4
y
−
4
z
=
2
最后化简的结果将是
⎡⎣⎢1002201−10⎤⎦⎥
[
1
2
1
0
2
−
1
0
0
0
]
行交换可以解决的主元为0的称为”暂时性失效”,
但当底下的行中再也没有非0元素时,消元就彻底失效了
回代(back substitution)
增广矩阵(augment matrix)
⎡⎣⎢1302841112122⎤⎦⎥ [ 1 2 1 2 3 8 1 12 0 4 1 2 ]
⎡⎣⎢1002241−21262⎤⎦⎥ [ 1 2 1 2 0 2 − 2 6 0 4 1 2 ]
⎡⎣⎢1002201−1526−10⎤⎦⎥
[
1
2
1
2
0
2
−
1
6
0
0
5
−
10
]
Ax=b
A
x
=
b
转换成了Ux=c
U
x
=
c
矩阵消元
矩阵乘法就是矩阵列的线性组合
matrix * column = column
第一步,从第二行里 减去 3倍的第一行
左边矩阵第一行,代表了对右边矩阵第一行的变换,第一行第一列,表示对本行做的乘法,第一行第二列表示对右边矩阵第二行做乘法,然后加上第一行变换之后的结果,第一行第三列表示对右边矩阵第三行做乘法之后, 加上前两次计算的结果.
用点乘的思想就是左边第一行,分别和右边每一列相乘得第一行的对应的元素
⎡⎣⎢1−30010001⎤⎦⎥ [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] ⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥ [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] = ⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥ [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ]
初等矩阵(elementary matrix)
E21
E
21
一个将第二行第一列变为0的初等矩阵
第二步,从第三行里 减去 2倍的第二行
⎡⎣⎢10001−2001⎤⎦⎥ [ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] ⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥ [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] = ⎡⎣⎢1002201−15⎤⎦⎥ [ 1 2 1 0 2 − 1 0 0 5 ]
综合起来
E32(E21A)=U E 32 ( E 21 A ) = U
什么矩阵能一次性将A变成U
E32(E21A)=U
E
32
(
E
21
A
)
=
U
(E32E21A)=U
(
E
32
E
21
A
)
=
U
置换矩阵(permnutation)简单记为p
行变换
[0110]
[
0
1
1
0
]
[acbd]
[
a
b
c
d
]
= [cadb]
[
c
d
a
b
]
列变换
[acbd]
[
a
b
c
d
]
[0110]
[
0
1
1
0
]
= [bdac]
[
b
a
d
c
]
如何把A变成U,如何把U变成A,这就需要用到逆矩阵(inverse matrix)
⎡⎣⎢130010001⎤⎦⎥
[
1
0
0
3
1
0
0
0
1
]
⎡⎣⎢1−30010001⎤⎦⎥
[
1
0
0
−
3
1
0
0
0
1
]
= ⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
E−1E=I E − 1 E = I
