高精度乘法计算基础

1.高精度浮点运算方法

　　高精度浮点（Floating Point，FP）运算可以转换成整数型运算。由于高精度浮点数可以看成是由整数部分（Integer Part，IP）与小数部分（Decimal Part，DP）的组合，因此其乘法可以看成以下3种运算的组合，即整数x整数（IxI）、整数x小数（IxD）和小数x小数（DxD）。用表达式表示， 则FP1*FP2=IP1*IP2+（IP1*DP2+IP2*DP1）+DP1*DP2

　　（1）对于IxI型运算，所得的结果仍是整数

　　（2）对于DxD型运算，所得结果仍是小数

　　（3）对于IxD型运算，所得到的计算结果是一个浮点数，即可能包括整数和小数。

此时可以使用小数部分的每个单元分别乘以整数部分。这样对于n位小数，可以得到拥有n个数字的字符串。把第d位乘以整数部分所得到的所有数字向低位移动d位，则可以得到整数和小数部分的数字位，然后进行求和，即可以得到所需要的计算结果。

2.高精度乘法与移位计算

　　由于在高精度计算中采用了数组或链表作为数值储存单元，因此可以使用移位计算代替乘法或除法运算。在对二进制计算中，对于一个数值，每个单元向 高位移动一位，得到的数值结果等于这个数乘以2，而向低位移动一位时，其结果等于这个数值除以2，如8>>1=4,8<< 1=16.同理，在高精度计算时，若进制基数为S，而向低位移动一位时，其结果等于这个数值除以S。注意，在移位后应把空出的低位设置为0.使用移位操作 代替乘法或除法计算，可以大大地提高计算效率。

高精度整数乘法

1.高精度与单精度整数乘法

　　这种乘法运算与高精度加法类似，所不同的是，对于高精度数字由低位到高位逐位乘以单经读书。设高精度的数位数字为a[i]，单精度数为b，则可以把a[i]*b除以进制的玉树作为更新a[i]的值，把其商数作为进位。


void mults(int a[],int na,int b,int c[],int * nc)

{

int i,s,carry=0;

for(i=0;i<na;i++)                               //高精度与单精度乘法

{

s=carry+a[i]*b;                             //本位数乘以单精度整数，在加上进位

c[i]=s%10;                                    //计算本位数字

carry=s/10;                                   //计算进位

}

while(carry!=0)                                  //对进位进行处理

{

c[na]=carry%10;                           //计算本位

carry=carry/10;                             //计算进位

na++;                                           //计算结果的数字长度

}

*nc=na;                                            //返回结果数字长度

}


　　2.高精度与高精度整数乘法

　　因为当两个高精度整数相乘时，所得到的积的位数最多不会超过最长整数的两倍，所以保存计算结果的变量空间可以设置为最长整数位数的两倍。当i和 j初始值从0开始，乘数的第i位a[i]与被乘数的第j位b[j]相乘时，则其结果可以加入到c[i+j]中，然后再进行进位处理


void multm(int a[],int na,int b[],int nb,int c[],int *nc)

{

int i,j,s,carry=0;

*nc=na+nb;                                  //乘积长度

for(i=0;i<*nc;i++)   c[i]=0;           //乘积变量初始化

for(i=0;i<na;i++)

{

for(j=0;j<nb;j++)

{

c[i+j]=c[i+j]+a[i]*b[j];       //两个整数数位与数位之间相乘

c[i+j+1]=c[i+j+1]+c[i+j]/10;//进位

c[i+j]=c[i+j]%10;                 //计算本位数字

}

}

}


　　高精度浮点数乘法

1.整数与小数相乘

　　在不考虑小数点的情况下，先计算整数与每个小数单元中的数字，每次可以 得到一个长整数，在根据当前小数单元的位置，确定对这个长整型的缩小位数。第1位小数，缩小10倍（这里以十进制为例），相当于将此长整数整体向右移动1 位。同理，对于第n为小数，相当于将此长整数整体向右移动n位。由此，每次计算都可以得到一个确定的整数和小数部分。对这些数值求和，即可以得到整数与小 数部分的乘积。


void ixd(int xi[],int ni,int yd[],intnd,int zi[],int zd[])

{

int i,n,carry;

int x1[MAXLEN],x2[MAXLEN],tmp[MAXLEN];

for(i=0;i<ni;i++)  zi[i]=0;

for(i=0;i<nd;i++)  zd[i]=0;

for(i=0;i<nd;i++)                                      //循环小数数字单元

{

mults(xi,ni,yd[nd-i-1],tmp,&n);               //整数与每个小数位上的数字相乘

rart(tmp,n,i+1,x1,ni,x2,nd);                  //从新整数中分离出整数和小数

carry=add_int(zd,x2,zd,nd);                  //小数累加

zi[0]+=carry;                                      //向整数进位

add_int(zi,x1,zi,ni);                              //整数累加

}

}

 

//通过移位把一个整数分解成两个整数，分别表述整数和小数部分。这种移位计算相当于乘法运算

void rpart(int a[],int maxn,int num,int ai[],int ni,int ad[],int nd[])

{

int i;

for(i=0;i<ni;i++) ai[i]=0;

for(i=0;i<nd;i++) ad[i]=0;

if(num<=maxn)                                                        //缩小位数小于给定的整数长度

{

for(i=0;i<maxn-num;i++)     ai[i]=a[num+i];            //计算得到整数数字单元中的数字

for(i=0;i<num;i++)     ad[nd-num+i]=a[i];             //计算得到小数数字单元中的数字

　　}

else                                                                         //此情况下，整数部分全为0

{

for(i=0;i<maxn;i++)   ad[nd-num+i] =a[i];          //计算得到小数数字单元中的数字

}

}


　2.两整数相乘与两小数相乘

 这两种乘法都可以使用长整数乘法来运算。整数与整数相乘的运算较简单，只需使用前面介绍的整数乘法函数运算即可。对于小数与小数相乘的运算，可以 先不考虑小数点问题，把他们作为两长整数进行运算。如1.85 x 2.123，在计算时，先不考虑小数点，直接计算85 x123=10455，它表示小数乘法0.85x0.123=0.10455  两个小数相乘后仍然是小数，其位数为这两个小数位数相加，因此其长度可能超过指定的小数位长度，此时需要将低位社区，可以使用一个截断字符串函数来进 行。这种截断也便于两小数相加时小数位对齐。在进行两个小数相加或相减时，必须需要注意“小数位对齐”，否则计算将出错


//用于对长度为maxn位的数字，以左为界，取出num位数字

void ltruncate(int a[],int maxn,int b[],int num)

{

int i;

for(i=manx-1;i>=maxn-num;i++)       //以左为界，取出num位数字

b[i-maxn+num] =a[i];

}


　　3.浮点数与浮点数相乘


void multiply(BIGFLOAT a,BIGFLOAT b,BIGFLOAT *c)

{

int yi[MAXLEN],yd[MAXLEN];

int xi1[MAXLEN],xd1[MAXLEN];

int xi2[MAXLEN],xd2[MAXLEN];

int nyi,nyd,carry1,carry2;

 

if(a.sign==b.sign)                   //确定乘积符号

c->sign=0;                       //乘积为正

else

c-.sign=1;                       //乘积为负

 

c->ni=a.ni;                          //确定乘积整数长度

c->nd=a.nd;                          //确定乘积小数长度

 

multm(a.a,a.ni,b.a,b.ni,yi,&nyi);    //整数x整数

multm(a.d,a.nd,b.d,b.nd,yd,&nyd);    //小数x小数

ltruncate(yd,nyd,c->d,c->nd);        //小数位对齐

ixd(a.a,a.ni,b.d,b.nd,xi1,xd1);      //整数x小数

ixd(b.a,b.ni,a.d,a.nd,xi2,xd2);      //小数x整数

 

carry1=add_int(c->d,xd1,c->d,c->nd); //关于小数部分的整数加法计算

carry2=add_int(c->d,xd2,c->d,c->nd); //关于小数部分的整数加法计算

 

yi[0]+=carry1+carry2;                //小数部分向整数部分进位

add_int(yi,xi1,c->a,c->ni);          //整数加法计算

add_int(c->a,xi2,c->a,c->ni);        //整数加法计算

}


　　因此当任意给定两个高精度的浮点数后，使用以上的multily都可以计算他们的乘积

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