本文介绍Duffing系统在简谐激励下的受迫振动问题，先介绍激励频率远离派生系统固有频率时发生振动的可能性，再分别介绍亚谐共振和超谐共振。
1.次共振发生的可能性
1.1无阻尼系统
首先考察无阻尼Duffing在间歇激励下的受迫振动
其中等式左边第二项可以理解为自身的恢复力，第三项为非线性项，等式右边为外激励。
现在用谐波平衡法验证该系统有精确解
因此把此解代入上面方程，计算过程如下
由此可解出这种振动的振幅和频率
可以发现，派生系统固有频率大约是激励频率1/3时，发生了共振，这种共振我们称之为亚谐波共振。对这种现象的物理解释有多种，其中之一是：外激励激发出了系统自由振动的三次谐波， 进而联带起系统的自由振动，并将其维持下去。
1.2阻尼系统
阻尼Duffing系统在简谐激励下的振动问题
相较无阻尼系统多了第二项阻尼项目，这里不再要求激励为小量，但任限制系统非线性阻尼比较弱
利用多尺度法研究解得一次近似，设
并且代入阻尼运动方程，比较
同次幂得到线性偏微分方程
此方程的解为
将其代入线性偏微分方程第二式得到
可以发现，由于阻尼运动方程的三次非线性项存在，造成了上面蓝线所画的项含有
和
，当
和
时诱发产生共振的永年项。我们把
和
分别叫做3次超谐共振和1/3次亚谐共振。下面分别进行研究。
2.1/3 次亚谐共振
2.1一次近似解
为了在
时研究亚谐共振，定义新的激励频率失调量σ ，使
写出消除永年项的条件，即指数有
的项的系数相加为0
引入
将第一式代入消除永年项的条件，分离实虚部后代入第二式得到得到 1/3 次亚谐共振的慢时变幅值和相位满足的自治微分方程
2.2定常解及存在条件
令上面的幅值和相位满足的自治微分方程中
,得到幅值和相位满足的代数方程
消去相位
，
得到得到 1/3 次亚谐共振的幅频响应方程
可用MATLAB求出次二次方程的根
其中
由于Q>0,因此取正解的条件是P>0且
,由此得到 1/3 次亚谐共振的必要条件
这说明对于刚度硬化的 Duffing 系统，1/3 次亚谐共振发生在 激励频率
略高于
的频段上。第二个不等式表明增加阻尼可破坏 1/3 次亚谐共振。视式的
为未知量，解二次不等式得
不难证明，上式中第二个不等式覆盖了第一个，从而成为 1/3 次亚谐共振的存在性条件。该条件还可用原外激励参数表示为
图1给出了两种阻尼时产生1/3次亚谐共振时激励幅值F和激励频率ω 的 关系。显然，随着系统阻尼的增加，发生共振的区域缩小。图2是给定激励幅值下对应上述两种阻尼的幅频响应曲线。
图1 1/3 次亚谐共振的激励条件 图2 1/3 次亚谐共振的幅频响应
（
，
） （
,
，
）
4.3 定常解的稳定性
类似于对主共振定常解的稳定性分析，将1/3 次亚谐共振的慢时变幅值和相位满足的自治微分方程处关于小扰动 ∆a 和 ∆ϕ 局部线性化
该方程对应的特征方程为
可将特征方程简化为
鉴于µ > 0和平衡点结论，1/3 次亚谐共振渐近稳定的充分必要条件是γ > 0，亦即条件
这表明，方程两个解支中，幅值大的一支渐近稳定，小的一支不稳定。这正如图3所示。
图3（1/3 次亚谐共振的多解现象）
图中P1和P2是两个奇点，对应于某一激励频率下频响曲线上、下解支上的点，即原系统的两种稳态运动。显然P1是焦点，而P2是鞍点。自阴影区任一初始状态出发，系统状态将最终被吸引到P1，形成稳态1/3次亚谐共振,频响曲线的上解支是渐近稳定的。只有恰好位于两区域分界线上的初始状态才可能被吸引到P2 ，一旦受到偏离分界线的小扰动，其状态就会被吸引到P1。所以频响曲线的下解支是不稳定的。
3.3次超谐共振
3.1 一次近似解
为了在
时研究超谐共振，定义新的激励频率失调量σ ，使
写出消除永年项的条件
引入
将其第一式代入式，分离实虚部后再代入第二式，得到 3 次超谐共振的慢时变幅值和相位满足的自治微分方程
3.2 定常解
令上面的幅值和相位满足的自治微分方程中
,得到幅值和相位满足的代数方程
3次超谐共振的幅频响应与主共振幅频响应非常相似。 即3次超谐共振存在三个解共存现象，其中上下两个解支渐近稳定，中间解支不稳定，从而在正弦慢扫频实验中发生跳跃现象。
3 次超谐共振峰为
它与系统的非线性程度有关，这显著有别于主共振。由于共振峰与ε 量级相同，弱非线性系 统的 3 次超谐共振的危险性比较小。
