试推导图中权重的更新公式 权重更新算法

文章目录

• 相关介绍

• SGD: Stochastic Gradient Descent
• TG

• 简单加入L1范数
• 简单截断法
• 梯度截断法

• FOBOS: Forward Backward Splitting[^4]

• RDA: Regularized dual averaging[^5]

• FTRL: Follow-the-Regularized-Leader
• 总结

相关介绍

SGD: Stochastic Gradient Descent

由于批量梯度下降法在更新每一个参数时，都需要所有的训练样本，所以训练过程会随着样本数量的加大而变得异常的缓慢。 与SGD比较，GD需要每次扫描所有的样本以计算一个全局梯度，SGD则每次只针对一个观测到的样本进行更新。通常情况下SGD可以更快的逼近最优值，而且SGD每次更新只需要一个样本，使得它很适合进行增量或者在线计算（也就是所谓的Online learning）。权重更新方式如下：

$\Delta {\omega_t} = - \eta {g_t}$

${\omega_{t + 1}} = {\omega_t} + \Delta {\omega_t}$

特别的，迭代和选取模型的时候我们经常希望得到更加稀疏的模型，这不仅仅起到了特征选择的作用，也降低了预测计算的复杂度。在实际使用LR的时候我们会使用L1或者L2正则，避免模型过拟合和增加模型的鲁棒性。在GD算法下，L1正则化通常能得到更加稀疏的解；可是在SGD算法下模型迭代并不是沿着全局梯度下降，而是沿着某个样本的梯度进行下降，这样即使是L1正则也不一定能得到稀疏解¹。

TG

简单加入L1范数

如上所说，在GD算法下，L1正则化通常能得到更加稀疏的解；可是在SGD算法下模型迭代并不是沿着全局梯度下降，而是沿着某个样本的梯度进行下降，这样即使是L1正则也不一定能得到稀疏解。a+b两个float数很难绝对等于零，无法产生真正稀疏的特征权重。权重更新方式如下：

$\Delta {\omega _t} = - {g_t} - \lambda {\mathop{\rm sgn}} ({\omega _t})$

${\omega _{t + 1}} = {\omega _t} + \eta \Delta {\omega _t}$

简单截断法

既然L1正则化在Online模式下也不能产生更好的稀疏性，而稀疏性对于高维特征向量以及大数据集又特别的重要，我们应该如何处理的呢？

简单粗暴的方法是设置一个阀值，当W的某纬度的系数小于这个阀值的时候，将其直接设置为0。这样我们就得到了简单截断法。简单截断法以$k$为窗口，当${t \over k}$不为整数时采用标准的SGD进行迭代，当${t \over k}$为整数时，权重更新方式如下：

${\omega _{t + 1}} = {T_0}({\omega _t} + \eta \Delta {\omega _t},\theta )$

${T_0}({v_i},\theta )=\left\{\begin{array}{cc} 0, & {if \quad|{v_i}| \le 0}\\ {{v_i}}, & otherwise \end{array}\right.$

$\theta$为一正数，$v_i$为一向量。

梯度截断法

简单截断法法简单且易于理解，但是在实际训练过程中的某一步，$\omega$的某个特征系数可能因为该特征训练不足引起的，简单的截断过于简单粗暴(too aggresive)，会造成该特征的缺失。那么我们有没有其他的方法，使得权重的归零和截断处理稍微温柔一些呢？那就是梯度截断法。

${\omega _{t + 1}} = {T_0}({\omega _t} + \eta \nabla L({\omega _t}),\eta {g_i},\theta )$

${T_1}({v_i},\alpha ,\theta )=\left\{\begin{array}{cc} \max (0,{v_i} - \alpha ),&{\rm{ }}if\quad {v_i} \in [0,\theta ]\\ \min (0,{v_i} + \alpha ),&{\rm{ }}if\quad {v_i} \in [ - \theta ,0]\\ {v_i}, & otherwise \end{array}\right.\tag1$

同样的梯度截断法也是以$k$为窗口，每$k$步进行一次截断。当${t \over k}$不为整数时，当${t \over k}$为整数时${g_i}=kg$。从Eq.(1)可以看出$g$和$\theta$决定了截断的区域，也决定了$\omega$的稀疏程度。这两个数值越大，截断区域越大，稀疏性也越强。尤其这两个值相等的时候，只需要调节一个参数就能控制稀疏性。

FOBOS: Forward Backward Splitting²

FOBOS将每一个数据的迭代过程，分解成一个经验损失梯度下降迭代Eq.(1)和一个最优化问题Eq.(2)。分解出的最优化问题Eq.(2)，有两项：第一项l2范数表示不能离第一步loss损失迭代结果太远，第二项是正则化项，用来限定模型复杂度抑制过拟合和做稀疏化等³。

${\omega _{t + {1 \over 2}}} = {\omega _t} - {\eta _t}{g_t}^f\tag1$

${\omega _{t + 1}} = \mathop {\arg \min }\limits_\omega \left\{ {{1 \over 2}{{\left\| {\omega - {\omega _{t + {1 \over 2}}}} \right\|}^2} + {\eta _{t + {1 \over 2}}}r({\omega _t})} \right\}\tag2$

对Eq.(2)求${\omega _{t + 1}}$导数，我们可以得出一个结论：$0$一定属于Eq.(2)等号右边的导数集！

$0 \in \partial {\left. {\left\{ {{1 \over 2}{{\left\| {\omega - {\omega _{t + {1 \over 2}}}} \right\|}^2} + {\eta _{t + {1 \over 2}}}\partial r({\omega _{t + 1}})} \right\}} \right|_{\omega = {\omega _{t + 1}}}}\tag3$

由于${\omega _{t + 1}} = {\omega _t} - {\eta _t}{g_t}^f$，可得

$0 \in {\omega _{t + 1}} - {\omega _t} + {\eta _t}{g_t}^f + {\eta _{t + \frac{1}{2}}}\partial r({\omega _{t + 1}})\tag4$

Eq.(4)意味着只要选择使得Eq.(3)最小的${\omega _{t + 1}}$，那么就保证可以获得向量${g_{t + 1}}^f \in \partial r({\omega _{t + 1}})$使得：
$0 = {\omega _{t + 1}} - {\omega _t} + {\eta _t}{g_t}^f + {\eta _{t + \frac{1}{2}}}{g_{t + 1}}^f\tag5$

从而将${\omega _{t + 1}}$写成：

${\omega _{t + 1}} = {\omega _t} - {\eta _t}{g_t}^f - {\eta _{t + {1 \over 2}}}{g_{t + 1}}^f\tag6$

最后论文中推导了带L1正则的FOBOS算法。权重更新式为：

算法伪代码如下：

RDA: Regularized dual averaging⁴

之前的算法都是在SGD的基础上，属于梯度下降类型的方法，这类型的方法的优点是精度比较高，并且TG、FOBOS也能在稀疏性上得到提升。但是RDA却从另一个方面进行在线求解，并且有效提升了特征权重的稀疏性。

L1-RDA特征权重各个纬度更新方式为：

这里当某个纬度上累积梯度平均值小于阀值的时候，该纬度权重将被设置为0，特征稀疏性由此产生。

对比L1-FOBOS我们可以发现，L1-FOBOS是TG的一种特殊形式，在L1-FOBOS中，进行截断的判定条件是$|{\omega _t} - {\eta _t}{g_t}^f| \le {\lambda _{TG}} = {\eta _{t + {1 \over 2}}}\lambda $。通常会定义为正相关函数$\eta = \Theta \left( {{1 \over {\sqrt t }}} \right)$。因此L1-FOBOS的截断阀值为$\Theta \left( {{1 \over {\sqrt t }}} \right)\lambda $，随着$t$增加，这个阀值会逐渐降低。而相比较而言L1-RDA的截断阀值为，是一个固定的常数，因此可以认定L1-RDA比L1-FOBOS更加aggressive。此外L1-FOBOS判定是针对单次梯度计算进行判定，避免由于训练不足导致的截断问题。并且通过调节一个参数，很容易在精度和稀疏性上进行权衡。

给出其两种实现的伪代码：

FTRL: Follow-the-Regularized-Leader

有实验证明，L1-FOBOS这一类基于梯度下降的方法有较高的精度，但是L1-RDA却能在损失一定精度的情况下产生更好的稀疏性。如何能把这两者的优点同时体现出来的呢？这就是FTRL，L1-FOBOS与L1-RDA在形式上的统一。这里有张来自引用[3]的图:

FTRL综合考虑了FOBOS和RDA对于正则项和W的限制，其特征权重为：

而后可导出更新式为：

具体的变换推导，请参考2013年发表的FTRL工程化实现的论文⁵。

其采用L1和L2混合正则的FTRL的伪代码如下：

上面所谓的per-coordinate，其意思是FTRL是对$w$每一维分开训练更新的，每一维使用的是不同的学习速率，也是上面代码中$\lambda_2$之前的那一项。与$w$所有特征维度使用统一的学习速率相比，这种方法考虑了训练样本本身在不同特征上分布的不均匀性，如果包含$w$某一个维度特征的训练样本很少，每一个样本都很珍贵，那么该特征维度对应的训练速率可以独自保持比较大的值，每来一个包含该特征的样本，就可以在该样本的梯度上前进一大步，而不需要与其他特征维度的前进步调强行保持一致。

总结

从类型上来看，简单截断法、TG、FOBOS属于同一类，都是梯度下降类的算法,并且TG在特定条件可以转换成简单截断法和FOBOS；RDA属于简单对偶平均的扩展应用；FTRL⁶可以视作RDA和FOBOS的结合，同时具备二者的优点。目前来看，RDA和FTRL是最好的稀疏模型Online Training的算法。FTRL并行化处理，一方面可以参考ParallelSGD，另一方面可以使用高维向量点乘，及梯度分量并行计算的思路。

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1. 机器学习（五）— FTRL一路走来，从LR -> SGD -> TG -> FOBOS -> RDA -> FTRL ↩︎
2. Efficient Online and Batch Learning Using Forward Backward Splitting ↩︎
3. 各大公司广泛使用的在线学习算法FTRL详解 ↩︎
4. Dual Averaging Methods for Regularized Stochastic Learning and Online Optimization ↩︎
5. Ad Click Prediction: a View from the Trenches ↩︎
6. Follow-the-Regularized-Leader and Mirror Descent: Equivalence Theorems and L1 Regularization ↩︎