神经网络的梯度下降公式推导及代码实现

1. 神经网络结构

以 2-Layers-Neural Network 为例,其结构如下。
该神经网络有两层,仅有一层为隐藏层。输入相应的数据神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_机器学习,输出为对应标签 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分_02



神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络_03


神经网络的梯度下降(Gradient descent)更新步骤基本为:

Step 1

Step 2

Step 3

Step 4

Forward Propagation

计算Cost Function

Back Propagation

更新参数W,b

表格描述的是一个epoch的步骤,需要不停的重复Step 1~4, 需经过多个epochs直到Cost Function 收敛


2. Step 1: Forward Propagation

其第一层(隐藏层)由 $ h $ 个神经元(隐藏单元)构成, 每个神经元的都要经过两部计算:

  1. 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分_04
  2. 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_05

同理, 只需要改变一下对应的下角标, 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络_06 也能被计算出来。
此时,第一层神经元的输出为 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_07
接下来进行下一层的计算:

  1. 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_08
  2. 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分_09

此时,神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络_10 为模型生成的一个0~1之间的数字,需要利用一定的阈值使得其能变为标签值 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分_11

if {A2 < 0.5}:
    Y = 0 
else:
    Y = 1

由于第二层只有一个神经元,因此本文中 $Z_1^{[2]} $ 和 $Z^{[2]} $ 代表相同含义

  • 简单的描述一下数据集的结构:
    数据集为 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络_12
    其中,神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分_13 为 feature个数,神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络_14 为训练集的sample数, $Y \in {0,1} $. 下图举了两个samples的例子.

神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分_15


3. Step 2: 计算 Cost Function

Cost Function是对于每一个样本的 Loss 函数的平均值,计算如下:
神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_16
其中,神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_机器学习_17,及第二层第 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_18

4. Step 3: Back Propagation

Back Propagation 是基于Chain Theory的梯度计算方法。其输出为W,b参数的梯度,以实现参数更新。

梯度下降的参数更新为:
神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_机器学习_19
神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_梯度下降_20 学习率小更新慢,反之则快。
因此,如果要更新 W 和 b,则需要计算对应的梯度。

由Forward Propagation知道,我么们需要计算的梯度由:
神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_梯度下降_21
则其计算如下:

4.1 梯度 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_机器学习_22

神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络_23
其中后面一项可以直接求解:
因为神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_24
所以 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_25
因此只需要求 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_26.利用 Chain Theory 可得:
神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_机器学习_27
神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络_28

推导1: 求证下面等式 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分_29

  • 如何理解 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_30 的维度问题?
    神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_梯度下降_31
    其中 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_梯度下降_32, 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_33
    , 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络_34, 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分_35.
    拿出 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_梯度下降_36神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_梯度下降_37 具体分析:
    神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_38
    神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_梯度下降_39
    神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_机器学习_40
    神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分_41
    因为:神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_30则表示:
    神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_梯度下降_43
    神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_30 维度为 (m,h)神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_梯度下降_45
    因此,可以推导出 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_机器学习_46

4.1 梯度 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_47

神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_梯度下降_48
这相当于是对神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_机器学习_49求平均值。

import numpy as np

dZ2 = A2 - Y
db2 = 1.0 / m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)

4.2 梯度 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_50 神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_梯度下降_51

其他梯度也可以通过类似的方式求解
神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络_52

5. 参数更新

梯度下降的参数更新为:
神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_神经网络_53
神经网络中剃度下降算法求预测函数的微分 神经网络梯度下降公式_深度学习_54

6. 部分函数以及代码实现

详情可见 Coursera Deep Learning.

def forward_propagation(X, parameters):
    """
    Argument:
    X -- input data of size (n_x, m)
    parameters -- python dictionary containing your parameters (output of initialization function)

    Returns:
    A2 -- The sigmoid output of the second activation
    cache -- a dictionary containing "Z1", "A1", "Z2" and "A2"
    """
    # Retrieve each parameter from the dictionary "parameters"

    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]

    # Implement Forward Propagation to calculate A2 (probabilities)

    Z1 = np.dot(W1, X) + b1
    A1 = np.tanh(Z1)
    Z2 = np.dot(W2, A1) + b2
    A2 = sigmoid(Z2)

    assert (A2.shape == (1, X.shape[1]))

    cache = {"Z1": Z1,
             "A1": A1,
             "Z2": Z2,
             "A2": A2}

    return A2, cache


def compute_cost(A2, Y):
    """
    Computes the cross-entropy cost given in equation (13)

    Arguments:
    A2 -- The sigmoid output of the second activation, of shape (1, number of examples)
    Y -- "true" labels vector of shape (1, number of examples)
    parameters -- python dictionary containing your parameters W1, b1, W2 and b2

    Returns:
    cost -- cross-entropy cost given equation (13)
    """

    m = Y.shape[1]  # number of example

    # Compute the cross-entropy cost

    logprobs = np.multiply(np.log(A2), Y) + np.multiply(np.log(1 - A2), (1 - Y))
    cost = -(1.0 / m) * np.sum(logprobs)

    cost = np.squeeze(cost)  # makes sure cost is the dimension we expect. # E.g., turns [[17]] into 17

    assert (isinstance(cost, float))

    return cost

    
def backward_propagation(parameters, cache, X, Y):
    """
    Implement the backward propagation using the instructions above.

    Arguments:
    parameters -- python dictionary containing our parameters
    cache -- a dictionary containing "Z1", "A1", "Z2" and "A2".
    X -- input data of shape (2, number of examples)
    Y -- "true" labels vector of shape (1, number of examples)

    Returns:
    grads -- python dictionary containing your gradients with respect to different parameters
    """
    m = X.shape[1]  # sample size

    # First, retrieve W1 and W2 from the dictionary "parameters".

    W1 = parameters["W1"]
    W2 = parameters["W2"]

    # Retrieve also A1 and A2 from dictionary "cache".

    A1 = cache["A1"]
    A2 = cache["A2"]

    # Backward propagation: calculate dW1, db1, dW2, db2.

    dZ2 = A2 - Y
    dW2 = 1.0 / m * np.dot(dZ2, A1.T)
    db2 = 1.0 / m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)
    dZ1 = np.dot(W2.T, dZ2) * (1 - np.power(A1, 2))
    dW1 = 1.0 / m * np.dot(dZ1, X.T)
    db1 = 1.0 / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)

    grads = {"dW1": dW1,
             "db1": db1,
             "dW2": dW2,
             "db2": db2}

    return grads
def update_parameters(parameters, grads, learning_rate=1.2):
    """
    Updates parameters using the gradient descent update rule given above

    Arguments:
    parameters -- python dictionary containing your parameters
    grads -- python dictionary containing your gradients

    Returns:
    parameters -- python dictionary containing your updated parameters
    """
    # Retrieve each parameter from the dictionary "parameters"

    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]

    # Retrieve each gradient from the dictionary "grads"

    dW1 = grads["dW1"]
    db1 = grads["db1"]
    dW2 = grads["dW2"]
    db2 = grads["db2"]

    # Update rule for each parameter

    W1 = W1 - learning_rate * dW1
    b1 = b1 - learning_rate * db1
    W2 = W2 - learning_rate * dW2
    b2 = b2 - learning_rate * db2

    parameters = {"W1": W1,
                  "b1": b1,
                  "W2": W2,
                  "b2": b2}

    return parameters


def nn_model(X, Y, n_h, num_iterations=10000, print_cost=False):
    """
    Arguments:
    X -- dataset of shape (2, number of examples)
    Y -- labels of shape (1, number of examples)
    n_h -- size of the hidden layer
    num_iterations -- Number of iterations in gradient descent loop
    print_cost -- if True, print the cost every 1000 iterations

    Returns:
    parameters -- parameters learnt by the model. They can then be used to predict.
    """

    np.random.seed(3)
    n_x = layer_sizes(X, Y)[0]
    n_y = layer_sizes(X, Y)[2]

    # Initialize parameters, then retrieve W1, b1, W2, b2. Inputs: "n_x, n_h, n_y". Outputs = "W1, b1, W2, b2,
    # parameters".

    parameters = initialize_parameters(n_x, n_h, n_y)
    # W1 = parameters["W1"]
    # b1 = parameters["b1"]
    # W2 = parameters["W2"]
    # b2 = parameters["b2"]

    # Loop (gradient descent)
    Cost_plot = []
    for i in range(0, num_iterations):

        # Forward propagation. Inputs: "X, parameters". Outputs: "A2, cache".
        A2, cache = forward_propagation(X, parameters)

        # Cost function. Inputs: "A2, Y, parameters". Outputs: "cost".
        cost = compute_cost(A2, Y)

        # Backpropagation. Inputs: "parameters, cache, X, Y". Outputs: "grads".
        grads = backward_propagation(parameters, cache, X, Y)

        # Gradient descent parameter update. Inputs: "parameters, grads". Outputs: "parameters".
        parameters = update_parameters(parameters, grads, learning_rate=1.2)

        # Stack all the cost for plot

        Cost_plot = np.append(Cost_plot, cost)
        # Print the cost every 1000 iterations
        if print_cost and i % 10 == 0:
            print("Cost after iteration %i: %f" % (i, cost))

    return parameters, Cost_plot

def predict(parameters, X):
    """
    Using the learned parameters, predicts a class for each example in X

    Arguments:
    parameters -- python dictionary containing your parameters
    X -- input data of size (n_x, m)

    Returns
    predictions -- vector of predictions of our model (red: 0 / blue: 1)
    """

    # Computes probabilities using forward propagation, and classifies to 0/1 using 0.5 as the threshold.

    A2, cache = forward_propagation(X, parameters)
    predictions = (A2 > 0.5)

    return predictions
  • Main Process
# Package imports
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sklearn.linear_model

from NN_Compute_Function import nn_model, predict
from planar_utils import plot_decision_boundary, sigmoid, load_planar_dataset, load_extra_datasets

np.random.seed(1)  # set a seed so that the results are consistent

'''
    Import the data from Datasets
'''
# Visualize the data:
X, Y = load_planar_dataset()

'''
    Build a model with a n_h-dimensional hidden layer
'''
parameters, cost_for_plot = nn_model(X, Y, n_h=9, num_iterations=10000, print_cost=True)

plt.plot(cost_for_plot, label='Cost function')
plt.legend()
plt.show()

# Print accuracy of 2-Layers-NN
predictions = predict(parameters, X)
print('Accuracy of 2-Layers-NN: %d' % float(
    (np.dot(Y, predictions.T) + np.dot(1 - Y, 1 - predictions.T)) / float(Y.size) * 100) + '%'
      + " with hidden layer size of " + str(4))

if __name__ == "__main__":
    print('=====[This is implementation of two layers neural network on classification]=====')