迭代法的作用
许多复杂的求解问题，都可以转换成方程f(x)=0的求解问题。这一系列的解叫做方程的根。对于非线性方程的求解，在自变量范围内往往有多个解，我们将此变化区域分为多个小的子区间，对每个区间进行分别求解。我们在求解过程中，选取一个近似值或者近似区间，然后运用迭代方法逐步逼近真实解。
方程求根的常用迭代法有：二分法、不动点迭代、牛顿法、弦截法。
牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
参考链接：
用python算微积分及牛顿迭代求解高阶方程
牛顿迭代法基本思想
考察一般形式的函数方程f(x)=0,首先运用校正技术建立迭代公式，设已知它的近似根xk,则自然要求校正值x(k+1)=xk+∆x能更好的满足所给方程,即 f(xk+∆x)≈0，将其左端用线性主部f(xk)+f’(xk)* ∆x代替,而令f(xk)+f’(xk)*∆x=0，这是关于增量∆x的线性方程，据此定出∆x=-f(xk)/f’(xk)，从而关于校正值x(k+1)=xk+∆x有如下计算公式：X(k+1)=xk-f(xk)/f’(xk)
这就是著名的牛顿公式。Newton法的突出优点是速度快，但它有个明显的缺点是每一步迭代需要提供导数值f’(xk),如果函数f(x)比较复杂，致使导数的计算比较困难，那么使用牛顿公式是不方便的。
牛顿迭代法优缺点
通常最高效的方法：牛顿法。它是求解方程f(x)=0的一种重要方法，它的最大优点是方程在单根附近具有较高的收敛速度，且算法逻辑简单。它还可以用于求代数方程的重根、复根。但是由于牛顿法是局部收敛的，它的收敛性依赖于初值x0的选取。并且每一步迭代除了需要计算f(Xk)外，还需要计算f(Xk)的导数，当f(x)比较复杂时（缺点明显），该方法是不方便的。
例题
求方程式：x = exp(-x)在0.5附近的根
即求方程式xexp(x)-1=0在0.5附近的根
约定一个误差，当误差小于某个数值的时候，迭代停止
代码如下：
from sympy import *
x = symbols('x')
x0 = 0.5
x_list = [x0]
i = 0
def f(x):
f = x * exp(x) - 1
return f
while True:
if diff(f(x),x).subs(x,x0) == 0:
print('极值点：',x0)
break
else:
x0 = x0 - f(x0)/diff(f(x),x).subs(x,x0)
x_list.append(x0)
if len(x_list) > 1:
i += 1
error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
if error < 10 ** (-6):
print(f'迭代第{i}次后，误差小于10^(-6)，误差为{error}')
break
else:
pass
print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')结果：
迭代第4次后，误差小于10^(-6)，误差为2.17717477197250E-10
所求方程式的根为0.567143290409784迭代至电脑默认为误差为0为止
from sympy import *
x = symbols('x')
x0 = 0.5
x_list = [x0]
i = 0
def f(x):
f = x * exp(x) - 1
return f
while True:
if diff(f(x),x).subs(x,x0) == 0:
print('极值点：',x0)
break
else:
x0 = x0 - f(x0)/diff(f(x),x).subs(x,x0)
x_list.append(x0)
if len(x_list) > 1:
i += 1
error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
if error == 0:
print(f'迭代第{i}次后，误差为0')
break
else:
pass
print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')结果：
迭代第6次后，误差为0
所求方程式的根为0.567143290409784画迭代图
代码：
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt
x = symbols('x')
x0 = 0.5
x_list = [x0]
x_values = []
y_values = []
i = 0
def f(x):
f = x * exp(x) - 1
return f
while True:
if diff(f(x),x).subs(x,x0) == 0:
print('极值点：',x0)
break
else:
x0 = x0 - f(x0)/diff(f(x),x).subs(x,x0)
x_list.append(x0)
if len(x_list) > 1:
i += 1
error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
x_values.append(i)
y_values.append(error)
if error == 0:
print(f'迭代第{i}次后，误差为0')
break
else:
pass
print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')
#设置绘图风格
plt.style.use('ggplot')
#处理中文乱码
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
#坐标轴负号的处理
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
#横坐标是迭代次数
#纵坐标是误差值
plt.plot(x_values,
y_values,
color = 'steelblue', # 折线颜色
marker = 'o', # 折线图中添加圆点
markersize = 3, # 点的大小
)
# 修改x轴和y轴标签
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('误差值')
# 显示图形
plt.show()结果：
迭代第6次后，误差为0
所求方程式的根为0.567143290409784
带有区间的例题
求方程式：x3 - 0.165x2 + 3.99310**(-4) = 0在（0，0.11）的根
先看看不用迭代法计算的结果
from sympy import *
from sympy.abc import x
def func(x):
return x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)
result = solveset(func(x), x, Interval(0, 0.11))
print(result)结果：
FiniteSet(0.0623775815137495)约定一个误差，当误差小于某个数值的时候，迭代停止
代码：
from sympy import *
x = symbols('x')
xl = 0 #区间下限
xu = 0.11 #区间上限
x0 = (xl+xu)/2 #迭代初始值
x_list = [x0]
i = 0
def f(x):
f = x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)
return f
while True:
if diff(f(x),x).subs(x,x0) == 0:
print('极值点：',x0)
break
else:
x0 = x0 - f(x0)/diff(f(x),x).subs(x,x0)
x_list.append(x0)
if len(x_list) > 1:
i += 1
error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
if error < 10**(-6):
print(f'迭代第{i}次后，误差小于10^-6')
break
else:
pass
print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')结果：
迭代第3次后，误差小于10^-6
所求方程式的根为0.0623775815137494迭代至电脑默认误差为0
from sympy import *
x = symbols('x')
xl = 0 #区间下限
xu = 0.11 #区间上限
x0 = (xl+xu)/2 #迭代初始值
x_list = [x0]
i = 0
def f(x):
f = x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)
return f
while True:
if diff(f(x),x).subs(x,x0) == 0:
print('极值点：',x0)
break
else:
x0 = x0 - f(x0)/diff(f(x),x).subs(x,x0)
x_list.append(x0)
if len(x_list) > 1:
i += 1
error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
if error == 0:
print(f'迭代第{i}次后，误差等于0')
break
else:
pass
print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')结果：
迭代第5次后，误差等于0
所求方程式的根为0.0623775815137495画迭代图
代码：
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt
x = symbols('x')
xl = 0 #区间下限
xu = 0.11 #区间上限
x0 = (xl+xu)/2 #迭代初始值
x_list = [x0]
i = 0
def f(x):
f = x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)
return f
x_values = []
y_values = []
while True:
if diff(f(x),x).subs(x,x0) == 0:
print('极值点：',x0)
break
else:
x0 = x0 - f(x0)/diff(f(x),x).subs(x,x0)
x_list.append(x0)
if len(x_list) > 1:
i += 1
error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
x_values.append(i)
y_values.append(error)
if error == 0:
print(f'迭代第{i}次后，误差等于0')
break
else:
pass
print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')
#设置绘图风格
plt.style.use('ggplot')
#处理中文乱码
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
#坐标轴负号的处理
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
#横坐标是迭代次数
#纵坐标是误差值
plt.plot(x_values,
y_values,
color = 'steelblue', # 折线颜色
marker = 'o', # 折线图中添加圆点
markersize = 3, # 点的大小
)
# 修改x轴和y轴标签
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('误差值')
# 显示图形
plt.show()结果：
迭代第5次后，误差等于0
所求方程式的根为0.0623775815137495
牛顿法求解非线性方程组
牛顿法求解非线性方程组-附Python代码解非线性方程组的牛顿迭代法(附Python代码)
python 实现（拟）牛顿法解非线性方程组
最优化方法：牛顿迭代法和拟牛顿迭代法
用牛顿迭代求解下面的非线性方程组
import numpy as np
def Fun(x,num):
# 方程组在这里，三个变量分别是x的三个分量，num是未知数个数，这里是2，f是两个方程组
i = num
f = np.zeros((i),dtype=float)
f[0] = x[0]**3-x[1]**2+1. #x**3-y**2+1=0
f[1] = x[0]**2-x[1]-1. #x**2-y-1=0
return f
#计算雅可比矩阵的逆矩阵
def dfun(x,num):
df = np.zeros((num,num),dtype=float)
dx = 0.00001
x1 = np.copy(x) #x1 = x
for i in range(0,num): # 求导数，i是列，j是行
for j in range(0,num):
x1 = np.copy(x)
x1[j] = x1[j]+dx #x+dx
df[i,j] = (Fun(x1,num)[i]-Fun(x,num)[i])/dx #f(x+dx)-f（x）/dx
df_1 = np.linalg.inv(df) #计算逆矩阵
return df_1
def Newton(x,num):
x1 = np.copy(x) #x1 = x 1行num列
i = 0
delta = np.copy(x)
while(np.sum(abs(delta)) > 1.e-8 and i < 100): #控制循环次数
x1 = x-np.dot(dfun(x,num),Fun(x,num)) #公式 x_k+1 = x_k - (dF(x_k))^(-1)·F(x_k)
delta = x1-x #比较x的变化
x = x1
i = i+1
print(x)
return x
# 方程未知数的个数
num = 2
#初始值
x = np.array((-1,1), dtype=float)
print(x)
a = Newton(x,num)
print(a)
#用sympy求解，检验牛顿迭代的正确性
import sympy
x,y = sympy.symbols('x,y')
print('方程的解：')
print(sympy.solve([x**3-y**2+1, x**2-y-1], [x,y]))结果：
[-1. 1.]
[-1.14285918 0.28571694]
[-1.03069215 0.04974598]
[-1.00160721 0.00237137]
[-1.00000443e+00 6.30308922e-06]
[-1.00000000e+00 4.38330963e-11]
[-1.00000000e+00 2.44426795e-16]
[-1.00000000e+00 2.44426795e-16]
方程的解：
[(-1, 0), (0, -1), (2, 3)]牛顿法求解非线性方程组——代码封装1
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#牛顿迭代
class Newton_Iteration():
def __init__(self,):
pass
def Fun(self, x, num):
# 方程组在这里，三个变量分别是x的三个分量，num是未知数个数，这里是2，f是两个方程组
i = num
f = np.zeros((i), dtype=float)
X1, X2 = x[0], x[1]
func = [X1 ** 2 + 4 * X2 ** 2 - 1, 4 * X1 ** 4 + X2 ** 2 - 1]
f[0] = func[0]
f[1] = func[1]
return f
# 计算雅可比矩阵的逆矩阵
def dfun(self, x, num):
df = np.zeros((num, num), dtype=float)
dx = 0.00001
x1 = np.copy(x) # x1 = x
for i in range(0, num): # 求导数，i是列，j是行
for j in range(0, num):
x1 = np.copy(x)
x1[j] = x1[j] + dx # x+dx
df[i, j] = (self.Fun(x1, num)[i] - self.Fun(x, num)[i]) / dx # f(x+dx)-f（x）/dx
df_1 = np.linalg.inv(df) # 计算逆矩阵
return df_1
#牛顿迭代
def Newton(self, x, num):
x1 = np.copy(x) # x1 = x 1行num列
i = 0
x_values = []
y_values = []
delta = np.copy(x)
while (np.sum(abs(delta)) > 1.e-8 and i < 100): # 控制循环次数
x1 = x - np.dot(self.dfun(x, num), self.Fun(x, num)) # 公式 x_k+1 = x_k - (dF(x_k))^(-1)·F(x_k)
delta = x1 - x # 比较x的变化
x_values.append(i)
y_values.append(delta)
x = x1
i = i + 1
print(x)
self.Drawing_error(x_values, y_values)
return x
def Drawing_error(self,x_values,y_values):
# 设置绘图风格
plt.style.use('ggplot')
# 处理中文乱码
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
# 坐标轴负号的处理
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 横坐标是迭代次数
# 纵坐标是误差值
plt.plot(x_values,
y_values,
color='steelblue', # 折线颜色
marker='o', # 折线图中添加圆点
markersize=3, # 点的大小
)
# 修改x轴和y轴标签
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('误差值')
# 显示图形
plt.show()
if __name__ == '__main__':
# 方程未知数的个数
num = 2
# 初始值
x = np.array((-1, 1), dtype=float)
# 方程组
Newton_Iteration = Newton_Iteration()
a = Newton_Iteration.Newton(x, num)
print('方程组的解为：',a)结果：
[-0.80644865 0.54838985]
[-0.70889633 0.38975774]
[-0.68372898 0.36586611]
[-0.68219953 0.36558393]
[-0.68219416 0.36558553]
[-0.68219416 0.36558553]
方程组的解为： [-0.68219416 0.36558553]
牛顿法求解非线性方程组——代码封装2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import *
#牛顿迭代
class Newton_Iteration():
def __init__(self, func, var_list):
self.func = func
self.var_list = var_list
pass
def Fun(self, x, num):
# 方程组在这里，三个变量分别是x的三个分量，num是未知数个数，这里是2，f是两个方程组
i = num
f = np.zeros((i), dtype=float)
f[0] = self.func[0].subs([(self.var_list[0],x[0]), (self.var_list[1],x[1])])
f[1] = self.func[1].subs([(self.var_list[0],x[0]), (self.var_list[1],x[1])])
return f
# 计算雅可比矩阵的逆矩阵
def dfun(self, x, num):
df = np.zeros((num, num), dtype=float)
dx = 0.00001
x1 = np.copy(x) # x1 = x
for i in range(0, num): # 求导数，i是列，j是行
for j in range(0, num):
x1 = np.copy(x)
x1[j] = x1[j] + dx # x+dx
df[i, j] = (self.Fun(x1, num)[i] - self.Fun(x, num)[i]) / dx # f(x+dx)-f（x）/dx
df_1 = np.linalg.inv(df) # 计算逆矩阵
return df_1
#牛顿迭代
def Newton(self, x, num):
x1 = np.copy(x) # x1 = x 1行num列
i = 0
x_values = []
y_values = []
delta = np.copy(x)
while (np.sum(abs(delta)) > 1.e-8 and i < 100): # 控制循环次数
x1 = x - np.dot(self.dfun(x, num), self.Fun(x, num)) # 公式 x_k+1 = x_k - (dF(x_k))^(-1)·F(x_k)
delta = x1 - x # 比较x的变化
x_values.append(i)
y_values.append(delta)
x = x1
i = i + 1
print(x)
self.Drawing_error(x_values, y_values)
return x
def Drawing_error(self,x_values,y_values):
# 设置绘图风格
plt.style.use('ggplot')
# 处理中文乱码
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
# 坐标轴负号的处理
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 横坐标是迭代次数
# 纵坐标是误差值
plt.plot(x_values,
y_values,
color='steelblue', # 折线颜色
marker='o', # 折线图中添加圆点
markersize=3, # 点的大小
)
# 修改x轴和y轴标签
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('误差值')
# 显示图形
plt.show()
if __name__ == '__main__':
# 方程未知数的个数
num = 2
# 初始值
x = np.array((-1, 1), dtype=float)
X1, X2 = symbols('X1, X2')
var_list = [X1, X2]
# 方程组
func = [X1 ** 2 + 4 * X2 ** 2 - 1, 4 * X1 ** 4 + X2 ** 2 - 1]
Newton_Iteration = Newton_Iteration(func, var_list)
a = Newton_Iteration.Newton(x, num)
print('方程组的解为：',a)结果：
[-0.80644865 0.54838985]
[-0.70889633 0.38975774]
[-0.68372898 0.36586611]
[-0.68219953 0.36558393]
[-0.68219416 0.36558553]
[-0.68219416 0.36558553]
方程组的解为： [-0.68219416 0.36558553]
本文章为转载内容，我们尊重原作者对文章享有的著作权。如有内容错误或侵权问题，欢迎原作者联系我们进行内容更正或删除文章。
