矩阵奇异性检验 python 矩阵的奇异性

我们经常会碰到几个名词很相近的一些数学术语，例如奇异矩阵、奇异值、奇异值分解、奇异性，经常会混淆，这里把它们的定义放在一起，做一下总结：

1.奇异矩阵：

奇异矩阵是线性代数的概念，就是该矩阵的秩不是满秩。

• 首先，看这个矩阵是不是方阵，即行数和列数相等的矩阵，若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵;
• 然后，再看此矩阵的行列式$\color{red}|A|$是否等于0，若$\color{red}|A|=0$，称矩阵$A$为奇异矩阵；若$\color{red}|A|≠0$，称矩阵$A$为非奇异矩阵。
• 同时，由$\color{red}|A|≠0$可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。
• 如果$A$为奇异矩阵，则 $\color{red}AX=0$ 有无穷解，$\color{red}AX=b$
• 如果$A$为非奇异矩阵，则 $\color{red}AX=0$ 有且只有唯一零解，$\color{red}AX=b$

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2.奇异值和奇异值分解：

这篇博客奇异值的物理意义是什么，是讲解奇异值的作用，有例子分析使用奇异值分解来进行图像压缩与图像去噪，并且对于不是方阵的矩阵也可以分解。

图像压缩与图像去噪用的方法都是奇异值分解，过程也是一样，但是他们的目的不一样：

• 当我们想要压缩图像进行传输时，我们可以用奇异值分解；
• 当我们想要对图像进行去噪时，我们也可以用奇异值分解；

这就像，我们想要看电影，我们可以使用电脑；我们想要打游戏，我们也可以使用电脑。

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该博客的核心是：

这里做一下说明：$u$、$v$都是列向量，$u$列向量的维度等于$A_{m*n}$的行数m、$v$列向量的维度等于$A$的列数n，那么 $uv^T$就是 (mx1)*(1xn)=mxn的矩阵，但是$uv^T$的秩必定为1。

例如：

$\begin{bmatrix} 1\\2\\3\\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 6&7&8\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1*6&1*7&1*8\\2*6&2*7&2*8\\3*6&3*7&3*8\\ \end{bmatrix}$

可以看到，上面等式右边的矩阵秩必定为1。

【奇异值分解】 在 【图像压缩】 的运用：

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这篇博客奇异值分解是讲解怎么进行SVD奇异值分解，包括求$U$、$V$、奇异值矩阵$\Sigma$。主要内容如下：

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3.奇异性：