作为刚上研一提前来给老师当苦力的小菜鸟，第一次学习MOEAD算法的时候，对其中介绍的分解方法一脸懵*，上网查了不少资料，很难查到详细的解释（好吧，可能我查的姿势不对），完全不理解这些分割方法所给出的表达式的意义，索性搁置了小半个月。
这里必须要感谢一下Chithon的这篇博客，其中的两幅配图让我豁然开朗，当然，大神完全没有必要阅读这篇博客了，我只是说一下自己从向量和几何的角度是如何理解这些方法的。
Weighted Sum Approach
该方法给出的表达式为：
首先，λ被称之为权重向量，观察和式，这完全就是m维向量的点乘公式嘛。具体的说，在目标空间中，把算法求出的一个目标点和原点相连构造成一个向量，此时，该方法的做法是将该向量与对应权重向量点乘，由向量点乘的几何意义可知，所得的数为该向量在权重向量方向上的投影长度，因为权重向量不变，最大/小化该长度值其实就是在优化该向量。可知若要增大该向量在权重向量上投影的长度，一方面可以增大/减小与权重向量的夹角，另一方面可以增大/减小该向量的长度。样例图如下：
上图中：考虑红色权重向量，因为是最小化问题，所以减小长度，增大夹角都是可行的方案，绿色为等高线，垂直于权重向量。
TchebycheffApproach
该方法给出的表达式为：
注意该方法中不再含有Σ符号，故不能再从向量点乘的角度理解。该方法大致思想是减少最大差距从而将个体逼近PF。等高线示意图如下：
首先解释等高线为什么是这样的。单看f1函数，即只考虑纵坐标，若两点等值，必然是
式中f1的函数值相等（因为另外两个量是不变的），即纵坐标相等，所以f1函数的等高线是一组平行于横轴的直线。f2类似，为一组平行于纵轴的直线。
那么，图中的等高线是横竖相交且刚好交在权重向量的方向上的，这是巧合吗？可以稍微来证明一下，可知，对于任何一个可行的切比雪夫值（自己叫的），我们从f1的角度上可以得到一个f1的值y，从f2的角度上可以得到一个f2的值x，他们的切比雪夫值是相等的，自然想到，点(x,y)（图中紫色点）为该切比雪夫值得横纵两条等值线的交点，那么有：λ1*(y-z1)= λ2*(x-z2)，化简的(y-z1)/(x-z2)= λ2/λ1，可知该交点位于权重向量的方向上。
需要注意一点，这里的权重向量起点是Z*，不再是原点。
此时可知，若某个个体位于其权重向量方向的上部，则max得到的一定是其f1部分，故优化也需要减小其f1的值，即个体向下移动，相反，若在权重向量方向的下部，则应像左移动。以此来保证个体目标值落在黄点附近。
一种可能的个体运动路线如下图橘黄色所示：
Boundary IntersectionApproach
该方法给出的表达式为：
式中个参数含义如下图所示：
式子中等式约束其目的是为了保证F(x)位于权重向量λ的方向上，通过减小d来使算法求出的解逼近PF。但该条件不太容易实现，故将其改进为下边这种方法。
penalty-basedboundary intersection approach
改进后的式子为：
各个参数的含义如下图：
可知算法放宽了对算法求出的解得要求，但加入了一个惩罚措施，说白了，就是你可以不把解生成在权重向量的方向上，但如果不在权重向量方向上，你就必须要接收惩罚，你距离权重向量越远，受的惩罚越厉害，以此来约束算法向权重向量的方向生成解。
接下来是关于d1和d2两个参数的计算表达式的含义说明，我依然是从几何角度理解的。
d1——观察d1的计算表达式，Z*-F(x)可以看做原点到Z*点的向量减去原点到F(x)的向量，得到的是从F(x)出发指向Z*的一个向量，暂且命名为μ，之后μ与λ相乘得到μ在λ方向上的投影，这个长度值与λ的长度值之比为d1。
d2——其表达式的含义其实也无非就是利用向量运算构造出d2所表示的向量，取模即可得到d2.构造过程如下：
Z*表红色向量，d1*λ表蓝色向量（因为减法，所以方向取反），红色减蓝色得紫色向量，F(x)表绿色向量，绿色减紫色得黄色向量，即d2表黄色向量的长度。
这些都是自己一些粗浅的理解，如果有错误或者有更好地理解的话希望能告诉我，大家一起进步嘛~~~
