java 应力 强度正态分布概率计算 正应力分布公式

文章目录

• 1.基本假设与基本物理量
• 2.应变与位移的关系
• 3.应力与应变关系
• 5.变形连续方程（相容方程）
• 6.位移分量求解应力及边界条件

在分析激光加工过程中的热应力问题之前，首先讨论一下弹性体的应力应变问题。

在此之前，先来了解几个基本参数：

• E：拉压弹性模量
• $\mu$：泊松比
• G：剪切弹性模量$G=\frac{E}{2(1+\mu)}$

1.基本假设与基本物理量

关于物质性质的几点假设（线弹性理论）：

1. 物体是连续的（可以用坐标的连续性函数表示）;
2. 物体是完全弹性的（变形后可恢复）;
3. 物体是均匀且各向同性的（非晶体）;
4. 物体的位移和变形是微小的（不需考虑物体尺寸变化）;
5. 物体内无原始应力（无残余内应力）。

体力与面力：

• 体力，又叫体积力，作用于物体体积内，如：重力，磁力等；
• 面力，分布于物体表面，如：压力、静水压力等；

应力：

• 正应力 $\sigma$：垂直于截面方向，也可用 $\tau_{xx}$
• 剪应力 $\tau$: 平行于界面方向；
• $\tau_{xy}$ 含义：剪应力位于垂直于x轴的平面上，并与y轴平行；
• 剪切力互等定理： $\tau_{xy}=\tau_{yx},\tau_{xz}=\tau_{zx},\tau_{zy}=\tau_{yz}$
• 正负判定：截面外法线方向沿坐标轴正方向，则以坐标轴正方向为正；否则，以坐标轴负方向为正。其正方向如下图所示：

• 应力的矩阵形式：
  $\mathbf \sigma=\begin{matrix} [ \sigma_x & \sigma_y & \sigma_z & \tau_{xy}&\tau_{yz}&\tau_{zx}]^T \end{matrix}$

应变：

• 正应变：各棱边的伸长或缩短（拉伸为正)，符号：$\varepsilon_x$；
• 剪应变：边与边之间夹角的变化（角度变小为正)，符号 $\gamma_{xy}$；
• 矩阵形式： $\mathbf \varepsilon=\begin{matrix} [ \varepsilon_x &\varepsilon_y &\varepsilon_z & \gamma_{xy}&\gamma_{yz}&\gamma_{zx}]^T \end{matrix}$

边界条件：

• 位移边界条件（边界位移已知）；
• 应力边界条件（面力大小已知）；
• 混合边界条件（以上两种边界条件均存在）。

2.应变与位移的关系

位移应变：(任取空间一点P，以xoy平面为例进行分析)

$\varepsilon=\begin{matrix} [ \frac{\partial u}{\partial x} &\frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} & \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} &\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z} &\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} ]^T \end{matrix}$

体积应变(三个方向正应变之和)：

$e\approx\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}$

刚体位移（物体形状不变，应变为零）：

如上图所示，在物体中任意一点P处所取的正平行六面微元体，徽元体各面与坐标面平行,

现讨论微元六面立方体变形后，平行于xoy坐标面的PNQR面的对角线PQ绕Z轴的转角 $\omega_z$:

$\omega_z=\frac 12(\alpha_{yx}-\alpha_{xy})=\frac 12(\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y})$

同理，可求得微元立方体另外两个投影面的对角线PS及PT绕y轴和x轴的转角 $\omega_y$ 及 $\omega_x$ ;则:

$\omega_x=\frac 12(\frac{\partial w}{\partial y} -\frac{\partial v}{\partial z})$

$\omega_y=\frac 12(\frac{\partial u}{\partial z} -\frac{\partial w}{\partial x})$

$\omega_z=\frac 12(\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y})$

另外，若假设物体形状不变，即应变为零，并且物体内各点位移是坐标的线性函数（均匀变形），则：
$u=u_0+\omega_yz+\omega_zy$

$v=v_0+\omega_zx+\omega_xz$

$w=w_0+\omega_xy+\omega_yx$

$u_0、v_0、w_0$ 分别表示P点在x、y、z方向上的位移。

3.应力与应变关系

$\begin{cases}\varepsilon_x=\frac{1}{E}[\sigma_x-\mu(\sigma_y+\sigma_z)]\\[1.5ex] \varepsilon_y=\frac{1}{E}[\sigma_y-\mu(\sigma_x+\sigma_z)]\\[1.5ex] \varepsilon_z=\frac{1}{E}[\sigma_z-\mu(\sigma_x+\sigma_y)]\\[1.5ex] \gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G}\\[1.5ex] \gamma_{yz}=\frac{\tau_{yz}}{G}\\[1.5ex] \gamma_{zx}=\frac{\tau_{zx}}{G} \end{cases}$

以应变分量表示应力分量：
$\begin{cases}\sigma_x=\frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)}(\varepsilon_x+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_y+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_z)\\[1.5ex] \sigma_y=\frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)}(\varepsilon_y+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_z+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_x)\\[1.5ex] \sigma_z=\frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)}(\varepsilon_z+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_x+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_y)\\[1.5ex] \tau_{xy}=G\gamma_{xy}=\frac E{2(1+\mu)}\gamma_{xy}\\[1.5ex] \tau_{yz}=G\gamma_{yz}=\frac E{2(1+\mu)}\gamma_{yz}\\[1.5ex] \tau_{zx}=G\gamma_{zx}=\frac E{2(1+\mu)}\gamma_{zx} \end{cases}$

将上述方程组整理成矩阵形式：
$\sigma=\mathbf D\varepsilon$

$\mathbf D=\frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)} \begin{bmatrix} 1&\frac\mu{1-\mu}&\frac\mu{1-\mu}&0&0&0\\ \frac\mu{1-\mu}&1&\frac\mu{1-\mu}&0&0&0\\ \frac\mu{1-\mu}&\frac\mu{1-\mu}&1&0&0&0\\ 0&0&0&\frac{1-2\mu}{2(1-\mu)}&0&0\\ 0&0&0&0&\frac{1-2\mu}{2(1-\mu)}&0\\ 0&0&0&0&0&\frac{1-2\mu}{2(1-\mu)} \end{bmatrix}$

对于体积应变 $e$
$e=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z=\frac{1-2\mu}E(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z)$

令 $\Theta =\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z$，记为体积应力，则：
$e=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z=\frac{1-2\mu}E\Theta$
拉梅常数：

$\begin{aligned} \sigma_x &= \frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)}(\varepsilon_x+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_y+\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_z)\\ &=\frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)}[\varepsilon_x+\frac\mu{1-\mu} (\varepsilon_y+\varepsilon+\varepsilon_x)-\frac\mu{1-\mu}\varepsilon_x]\\ &=\frac{E(1-\mu)}{(1+\mu)(1-2\mu)}(\frac\mu{1-\mu}e+\frac{1-2\mu}{1-\mu}\varepsilon_x)\\ &=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}e+\frac{E}{1+\mu}\varepsilon_x \end{aligned}$

同理，
$\sigma_y=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}e+\frac{E}{1+\mu}\varepsilon_y$

$\sigma_z=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}e+\frac{E}{1+\mu}\varepsilon_z$

令
$\lambda=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}$

记为拉梅常数，则：
$\sigma_x=\lambda e+2G\varepsilon_x$$\sigma_y=\lambda e+2G\varepsilon_y$$\sigma_z=\lambda e+2G\varepsilon_z$

5.变形连续方程（相容方程）

微元体六个应变量必须是协调的，其存在以下关系：
$\frac{\partial^2\varepsilon_x}{\partial^2 y^2}+\frac{\partial^2\varepsilon_y}{\partial^2 x^2}=\frac{\partial^2\gamma_{xy}}{\partial x\partial y}$

$\frac{\partial^2\varepsilon_y}{\partial^2 z^2}+\frac{\partial^2\varepsilon_z}{\partial^2 y^2}=\frac{\partial^2\gamma_{yz}}{\partial y\partial z}$

$\frac{\partial^2\varepsilon_z}{\partial^2 x^2}+\frac{\partial^2\varepsilon_x}{\partial^2 z^2}=\frac{\partial^2\gamma_{zx}}{\partial z\partial x}$

$\frac \partial{\partial x}(\frac{\partial\gamma_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial\gamma_{xy}}{\partial z}-\frac{\partial\gamma_{yz}}{\partial x})=2\frac{\partial^2\varepsilon_{x}}{\partial y\partial z}$

$\frac \partial{\partial y}(\frac{\partial\gamma_{xy}}{\partial z}+\frac{\partial\gamma_{yz}}{\partial x}-\frac{\partial\gamma_{zx}}{\partial y})=2\frac{\partial^2\varepsilon_{y}}{\partial z\partial x}$

$\frac \partial{\partial z}(\frac{\partial\gamma_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial\gamma_{zx}}{\partial y}-\frac{\partial\gamma_{xy}}{\partial z})=2\frac{\partial^2\varepsilon_{z}}{\partial x\partial y}$

这六个微分方程式又称为变形连续方程（相容方程）。当弹性体在外部载荷或温度影响下产生应力应变时：

• 若先求得位移分量，则可根据位移分量直接求得应变分量，满足相容条件；
• 若先求得应力分量，由应力推导应变，则必须验证变形连续方程，才能得到准确的位移。

6.位移分量求解应力及边界条件

$\sigma_x=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}e+\frac{E}{1+\mu}\frac{\partial u}{\partial x}$

$\sigma_y=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}e+\frac{E}{1+\mu}\frac{\partial v}{\partial y}$

$\sigma_z=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}e+\frac{E}{1+\mu}\frac{\partial w}{\partial z}$

$\tau_{xy}=\frac{E}{2(1+\mu)}(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y})$

$\tau_{yz}=\frac{E}{2(1+\mu)}(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z})$

$\tau_{zx}=\frac{E}{2(1+\mu)}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})$

其中，$e=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}$。

关于其边界条件，如文章第一部分所示，主要由外界约束决定，如固定端、约束力等。这里，我们假设应力为 $p$，则：
$\nabla p = \left[\begin{matrix} \frac{\partial\sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} \\[1.5ex] \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\sigma\tau_{y}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z} \\[1.5ex] \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{z}}{\partial z} \end{matrix}\right]$
整理为位移形式：

$\nabla p = \left[\begin{matrix} (\lambda+G)\frac{\partial e}{\partial x}+G\nabla^2u\\[1.5ex] (\lambda+G)\frac{\partial e}{\partial y}+G\nabla^2v\\[1.5ex] (\lambda+G)\frac{\partial e}{\partial z}+G\nabla^2w \end{matrix}\right]$
参考书籍：热应力理论分析及应用