随机游走模型R语言

一维的随机游走可定义如下：

每过一个单位时间，游走者从数轴 $x$ 位置出发以固定概率随机向左或向右移动一个单位. 不妨将 $n$ 时刻游走者的位置记为 $L_n$，则有
$L_n = x + X_1 + ... + X_n$

其中 $X_1, X_2, ... X_n$ 为互相独立的随机变量，满足
$P(X_i = 1) = p = 1 - P(X_i = -1)$

最经典的一维随机游走问题有赌徒输光问题和酒鬼失足问题

• 赌徒在赌场赌博，赢的概率是 $p$，输的概率 $1 - p$，每次的赌注为 1 元，假设赌徒最开始时有赌金 $n$

• 一个醉鬼行走在一头是悬崖的道路上，酒鬼从距离悬崖仅一步之遥的位置出发，向前一步或向后退一步的概率皆为 $\frac{1}{2}$，问酒鬼失足掉入悬崖的概率是多少？

一维有边界的随机游走问题

下面先对一维双边界随机游走问题进行求解：
设初始位置为 $x = n$ ，边界为 $x = 0$ 和 $x=w$ ，其中 $0 ≤ n ≤ w$ ，$n$、$w$ 为整数. 游走者每个单位时间移动一次，向左、向右移动的概率都为 $\frac{1}{2}$

若用 $S_n$ 表示初始位置为 $x = n$ 时最终落入边界 $x = 0$ 的概率. 显然我们会有 $S_0 = 1$ ，和 $S_w = 0$

若 $0 < n < w$ ，则考虑其下一次移动. 有 $\frac{1}{2}$ 的概率向左到达 $n - 1$ ，有 $\frac{1}{2}$ 的概率向右到达 $n +1$.

则由全概率公式可得，(当前位置可以由前后两个位置走到)
$S_n = \frac{1}{2}S_{n-1} + \frac{1}{2}S_{n+1}$

整理得到
$S_{n + 1} = 2S_n - S_{n - 1}$

利用
$S_{n + 1} - S_n = S_n - S_{n - 1}$

递推可得，其中 k 是一个常数
$S_n - S{n - 1} = ... = S_1 - S_0 = k$

累加可得，
$S_n = kn + S_0$

由$S_0 = 1, S_w = 0$,
可得
$S_n = 1 - \frac{1}{w}n = \frac{w-n}{w}$

同理用 $T_n$ 表示初始位置为 $x = n$ 时最终落入边界 $x = w$

可得 $T_n = \frac{n}{w}$

$S_n$ 表示初始位置为 $x = n$ 时最终落入边界 $x = 0$ 的概率
$T_n$ 表示初始位置为 $x = n$ 时最终落入边界 $x = w$ 的概率
$S_n + T_n = 1$，时间无限，最终位置都会落在两个边界而停止，所以两者的概率和为 1
$x = 0$ 和 $x = w$

对于单边界情况（w = ∞），可以令 $w\to +\infty$ 得到. 即得到 $S_n = 1, T_n = 0$

参考资料：橘子数学